Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich und berechne Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion: f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen rationalen Funktionen

Der Funktionsterm f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3} ist ein Quotient. Bei einem Quotient darf der Nenner N(x)=(x0,5)3=(x0,5)(x0,5)2N\left(x\right)=\left(x-0,5\right)^3=\left(x-0,5\right)\left(x-0,5\right)^2 nicht Null werden.

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich Null wird. Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen.
(x0,5)3=0\textstyle(x-0,5)^3=0
Definitionslücke (0,5) ablesen.
        Df=R\{0,5}\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0,5\right\}

Da der Zähler von ff, Z(x)=x2Z\left(x\right)=x^2, an der Stelle xN=0 x_N=0\ verschieden von der Definitionslücke ist, hat man an der Stelle xp=12x_p = \frac {1}{2} eine Polstelle.
Da im Nenner der Faktor (x12)2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 als Quadrat nie negativ werden kann, wird das Vorzeichen des Nenners alleine von (x12)\left(x-\frac{1}{2}\right) bestimmt.
Also ist f(x)<0 f\left(x\right)<0\ für x< 12x<\ \frac{1}{2} und f(x)>0f\left(x\right)>0 für x> 12x>\ \frac{1}{2}. Somit liegt an xp=12x_p=\frac{1}{2} eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.
Also limx12=\lim_{x\rightarrow \frac {1}{2}-}=-\infty und limx12+= \lim_{x\rightarrow\frac{1}{2}+}=\ \infty
f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}
Setze den Zähler der Funktion gleich 0.
x2=0x^2=0
x=0x=0
    NST=(0    0)\Rightarrow\;\;NST=\left(0\;\left|\;0\right.\right)

1. Ableitung

f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).
Für v wird die Kettenregel verwendet.
u=2x,  v=3(x0,5)2u`=2x,\;v`=3\cdot\left(x-0,5\right)^2
Quotientenregel anwenden.
f(x)=2x(x0,5)3x23(x0,5)2(x0,5)6f`\left(x\right)=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)^3-x^2\cdot3\cdot\left(x-0,5\right)^2}{\left(x-0,5\right)^6}
Mit (x0,5)2\left(x-0,5\right)^2 kürzen .
=2x(x0,5)x23(x0,5)4=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)-x^2\cdot3}{\left(x-0,5\right)^4}
=2x2x3x2(x0,5)4=\frac{2x^2-x-3x^2}{\left(x-0,5\right)^4}
Zusammenfassen
=xx2(x0,5)4=\frac{-x-x^2}{\left(x-0,5\right)^4}
=x2+x(x0,5)4=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}

2. Ableitung

f(x)=x2+x(x0,5)4f`\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).
Für v wird die Kettenregel verwendet.
u=2x+1,  v=4(x0,5)3u`=2x+1,\;v`=4\cdot\left(x-0,5\right)^3
Quotientenregel anwenden.
f(x)=(2x+1)(x0,5)4(x2+x)4(x0,5)3(x0,5)8f``\left(x\right)=-\frac{\left(2x+1\right)\cdot\left(x-0,5\right)^4-\left(x^2+x\right)\cdot4\cdot\left(x-0,5\right)^3}{\left(x-0,5\right)^8}
Mit (x0,5)3\left(x-0,5\right)^3 kürzen .
=(2x+1)(x0,5)(x2+x)4(x0,5)5=-\frac{\left(2x+1\right)\cdot\left(x-0,5\right)-\left(x^2+x\right)\cdot4}{\left(x-0,5\right)^5}
=2x2x+x0,54x24x(x0,5)5=-\frac{2x^2-x+x-0,5-4x^2-4x}{\left(x-0,5\right)^5}
=2x2+4x+0,5(x0,5)5=\frac{2x^2+4x+0,5}{\left(x-0,5\right)^5}

x-Werte bestimmen

f(x)=x2+x(x0,5)4f`\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}
Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.
x2+x=0x^2+x=0
x(x+1)=0x\cdot\left(x+1\right)=0
x Werte ablesen.
x1=1,  x2=0x_1=-1,\;x_2=0

Art der Extrema bestimmen

f(x)=2x2+4x+0,5(x0,5)5f``\left(x\right)=\frac{2x^2+4x+0,5}{\left(x-0,5\right)^5}
Gefundenes x1=1x_1=-1 einsetzen.
f(1)=2(1)2+4(1)+0,5((1)0,5)5f``\left(-1\right)=\frac{2\cdot\left(-1\right)^2+4\cdot\left(-1\right)+0,5}{\left(\left(-1\right)-0,5\right)^5} =24+0,5(1,5)5=\frac{2-4+0,5}{\left(-1,5\right)^5}
=1,57,593750,1975=\frac{-1,5}{-7,59375}\approx0,1975
        \;\;\Rightarrow\;\; Da f(1)>0:f``\left(-1\right)>0: Tiefpunkt
f(x)=2x2+4x+0,5(x0,5)5f``\left(x\right)=\frac{2x^2+4x+0,5}{\left(x-0,5\right)^5}
Gefundenes x2=0x_2=0 einsetzen.
f(0)=202+40+0,5(00,5)5f``\left(0\right)=\frac{2\cdot0^2+4\cdot0+0,5}{\left(0-0,5\right)^5}
=0,5(0,5)5=16=\frac{0,5}{\left(-0,5\right)^5}=-16
        \;\;\Rightarrow\;\; Da f(0)<0;f``\left(0\right)<0; Hochpunkt

y-Wert bestimmen

f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}
Gefundenes x1=1x_1=-1 einsetzen.
f(1)=(1)2(10,5)3f(-1)=\frac{\left(-1\right)^2}{(-1-0,5)^3}
=1(1,5)3=827=\frac1{(-1,5)^3}=-\frac8{27}
Die y-Koordinate des zweiten Extremums ist bereits bekannt, da dieses zusätzlich auch eine Nullstelle ist.
        TP(1    827),  HP(0    0)\;\;\Rightarrow\;\;TP\left(-1\;\left|\;-\frac8{27}\right.\right),\;HP\left(0\;\left|\;0\right.\right)
Bestimme wie oben die erste Ableitung f(x)=x2+x(x0,5)4f`\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}.
Die Nullstellen der 1. Ableitung kannst du nun bestimmen:

f(x)=0  x2x=0  x(x+1)=0\displaystyle f'(x)=0\ \Leftrightarrow\ -x^2-x=0\ \Leftrightarrow\ -x(x+1)=0
 x=1\Rightarrow\ x=-1 oder x=0x=0
Damit liegen an den Stellen x=1x=-1 oder x=0x=0 extremwertverdächtige Stellen vor.
Das Vorzeichen der 1. Ableitung wird nur vom Zähler z(x)=x2xz\left(x\right)=-x^2-x bestimmt. Denn der Nenner wird als Quadrat nie negativ.
Graphisch ist der Zähler z(x)z(x) der 1. Ableitung eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen x=1x=-1 und x=0x=0.
Graph der zur 1. Ableitung vorzeichengleichen Funktion
Man liest ab, dass links von x=1x=-1 dieser Graph unterhalb der x-Achse verläuft und zwischen x=1x=-1 und x=0x=0 verläuft er oberhalb der x-Achse. Rechts von x=0x=0 verläuft dieser Graph unterhalb der x-Achse.
Das bedeutet:
  • <x<1f(x)<0f(x)-\infty<x<-1\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f(x) fällt und
  • 1<x<0f(x)>0f(x)-1<x<0\Rightarrow f'(x)>0\Rightarrow f(x) wächst und
  • 0<x<f(x)<0f(x)0<x<\infty\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f(x) fällt.
Somit liegt an der Stelle x=1x=-1 ein Minimum Min(1/f(1))\text{Min}(-1/f(-1)) und an der Stelle x=0x=0 liegt ein Maximum Max(0/0)\text{Max}(0/0).