Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden

Gegeben sind meist zwei lineare Funktionen f und g mit den allgemeinen Geradengleichungen:

• $f(x)=m_1\cdot x+t_1$ und

• $g(x)=m_2\cdot x+t_2$ .

Und gesucht wird der Schnittpunkt $S(a\,|\,b)$.

Beispiel

Gegeben sind die folgenden linearen Funktionen:

• $f(x)=3\cdot x+2$

• $g(x)=2\cdot x+5$.

Berechne den Schnittpunkt.

Setze die Funktionen gleich und bringe $x$ auf eine Seite der Gleichung:

Der Funktionswert von $f$ und $g$ sind also bei $x=3$ gleich. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt also bei $S(3|?)$.

Den fehlenden y-Wert kannst du nun berechnen, indem du $x=3$ in $f(x)$ oder $g(x)$ einsetzt. In welche du $x=3$ einsetzt, macht keinen Unterschied, da $f(3)=g(3)$ gilt nach der Rechnung oben.

$x=3$ in $f(x)$ eingesetzt ergibt:

Der Schnittpunkt liegt also bei $S(3|11)$.

Allgemeine Vorgehensweise

Der x-Wert des Schnittpunkts liegt also bei $x=\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}$.

Nun noch $x=\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}$ in $f(x)$ oder $g(x)$ einsetzen, um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

Der Schnittpunkt der Geraden ist also $S(\textcolor{ff6600}{\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}}|\textcolor{009999}{m_1\cdot \frac{t_2-t_1}{m_1-m_2} +t_1})$.