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Graphisches Lösen von Exponentialgleichungen

Einführungsbeispiel

Löse die Gleichung x2=2xx^2=2^x graphisch.

Lösung

x2f(x)=2xe(x)\underbrace{x^2}_{f(x)}=\underbrace{2^x}_{e(x)}

Zeichne den Graphen der Parabel f(x)=x2f(x)=x^2 und den der Exponentialfunktion e(x)=2xe(x)=2^x.

Bild

Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) beider Graphen sind die gesuchten Lösungen der Gleichung x2=2xx^2=2^x.

Die ganzzahligen Lösungen x2=2x_2=2 und x3=4x_3=4 findet man natürlich auch durch Probieren. x1x_1 (eine irrationale Zahl) als Näherungswert nur graphisch.

Oft will man nur feststellen, ob eine Gleichung überhaupt lösbar ist, oder es reichen grobe Näherungswerte der Lösungen, dann genügen für die graphische Lösung Handskizzen der Graphen. Willst du es genauer, dann verwendest du einen Funktionsplotter zum Zeichen der Graphen.

Für die anschließenden Aufgaben sollen Handskizzen genügen.

  1. Löse die Exponentialgleichung x+2=2xx+2=2^x graphisch.

  2. Löse die Exponentialgleichung x=2x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x=2^x\end{array} graphisch.

  3. Löse die Exponentialgleichung 2x+x  =02^x+x\;=0 graphisch.

  4. Löse die Exponentialgleichung 2x+x21=02^x+x^2-1=0 graphisch.

  5. Löse die Exponentialgleichung 0,52x=30,5x0{,}5\cdot2^x=3\cdot0{,}5^x graphisch und - falls du den Logarithmus schon kennst - auch rechnerisch.