Anwendungsaufgaben mit gebrochen rationalen Funktionen

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Anwendungsbeispiele:
1. Zur Bestimmung der Schwerkraft y (in N) auf einen Körper der Masse 1kg in der Entfernung x von der Erdoberfläche (in km) gilt die Formel $y=\frac{4\cdot10^8}{\left(6370+x\right)^2}$ . Was erhält man für x=0? Was für sehr große x-Werte?
2. Ist $K_{Alt}$ das Anfangskapital eines Aktienbesitzers und $K_{neu}$ das Endguthaben bei der Rendite ("Zinssatz") x (als Dezimalzahl, also x = 0,03 bei 3%), so berechnet man das Endguthaben mit $K_{neu}$ = $K_{Alt}\cdot\left(1+x\right)$ . Umgekehrt war also das Anfangsguthaben $K_{Alt}=\frac{K_{neu}}{1+x}$ bzw. als Funktionsterm geschrieben z. B. bei $K_{neu}$ = 15000: $f(x)=\frac{15000}{1+x}$
  Wie müssten in diesem Beispiel negative x-Werte (z.B. x=-0,8) interpretiert werden? Wie die Definitionslücke? Wie die waagrechte Asymptote?
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Auf einem Streckenabschnitt soll eine Autobahnteilstrecke neu gebaut werden.
Durch Steigungen und Gefälle können Probleme für die Verkehrsteilnehmer entstehen.Deshalb werden beim Neubau von Autobahnen Steigungen über $6\%$ vermieden.
Das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke wird durch die Funktion $h(x)=\dfrac3{x^2+6}$ beschrieben (siehe Figur 1).
1. Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.
2. Im Intervall [-4;+4] soll die Autobahn daraufhin parabelförmig mit dem Höhenverlauf
  untertunnelt werden (siehe Figur 2 und die Vergrößerung in Figur 3).
  Kann die geplante Autobahnteilstrecke jetzt gebaut werden?
3. Bestätige deine Rechenergebnisse z.B. mithilfe von Geogebra graphisch.
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Beim Neubau von Autobahnen werden Steigungen über 6% vermieden. Deshalb sind oft Untertunnelungen oder Geländeabtragungen nötig.
Bei dieser Aufgabe wird das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke durch die Funktion
beschrieben (siehe Fig. 1).
1. Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.
2. Im Intervall [-2;+2] soll das Gelände daraufhin parabelförmig mit dem Höhenprofil
  abgetragen werden (siehe die Fig.2 und die Vergrößerung in Fig.3)
  Kann die Autobahn jetzt gebaut werden?
  Bestätige das Rechenergebnis graphisch, indem du z.B. in einem Geogebra-Applet die kritischen Steigungswerte überprüfst!
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Das Aufsprungprofil einer Skisprungschanze wird näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:
Unter dem "K-Punkt" einer Sprungschanze versteht man den Aufsprungpunkt mit der geringsten Aufsprungbelastung für den Springer.
Berechne die horizontale Entfernung des K-Punktes vom Schanzentisch sowie den Neigungswinkel der Aufsprungbahn im K-Punkt.
Maßstab der Zeichnung: $1\,LE = 50\,{m}$
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Um ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von $24 \text{ cm}^2$ zu erhalten, kannst du die Länge (x in cm) und Breite (y in cm) der Seiten des Rechtecks unterschiedlich wählen.
a) Bestimme alle ganzzahligen Paare aus Länge und Breite, die ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von $24 \text{ cm}^2$ ergeben. Trage die Wertepaare in eine Wertetabelle ein.
b) Stelle mit Hilfe der Tabelle den Zusammenhang der beiden Größen graphisch dar.
c) Bestimme nun den zum Graphen zugehörigen Funktionsterm. Vewende dazu die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.
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Um den Zusammenhang zwischen der Grundlinie und der zugehörigen Höhe eines Dreiecks mit Flächeninhalt $6 \text{ cm}^2$ darzustellen, kannst du die Länge (x in cm) der Grundlinie und die Höhe (y in cm) unterschiedlich wählen.
a) Bestimme alle ganzzahligen Paare aus Grundlinie (Grundseite) und zugehörige Höhe, die ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von $6 \text{ cm}^2$ ergeben. Trage die Werte in eine Tabelle ein.
b) Stelle mit Hilfe der Tabelle den Zusammenhang zwischen Grundseite und Höhe dar. Warum darf man die Punkte verbinden, wenn auch andere als ganzzahlige Paare zugelassen werden?
c) Bestimme nun die zugehörige Funktion des Graphen. Betrachte dazu die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

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