Es ist die Funktion %%f(x)=x^3−3x−2%% gegeben.

  1. Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von %%G_f%% . Zeichne %%G_f%% .

  2. Berechne die Gleichungen der Tangente t und Normale n im Wendepunkt.

  3. Berechne den Inhalt der beiden Flächenstücke, die von %%G_f%% und der Normalen n begrenzt sind.

Teilaufgabe a

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=x^3-3x-2%%

Die erste Nullstelle muss erraten werden.

Durch ausprobieren ermittelt man %%x_1=-1%%

Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.

%%\begin{array}{l}\;\;\left(x^3\;\;\;\;\;\;-3x-2\right):\left(x+1\right)=x^2-x-2\\\underline{-\left(x^3+x^2\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;-x^2-3x\\\;\;\;\underline{-\left(-x^2-x\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-2x-2\right)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die vereinfachte Funktion wird gleich 0 gesetzt um die beiden anderen Nullstellen zu ermitteln.

%%0=x^2-x-2%%

Die Mitternachtsformel lässt sich anwenden.

%%x_{2,3}=\dfrac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}%%

%%\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)=1-\left(-8\right)=9%%

%%\phantom{x_{1,2}}=\dfrac{1\pm\sqrt9}2%%

%%\phantom{x_{1,2}}=\dfrac{1\pm3}2%%

 

%%x_2=\dfrac42=2;\;x_3=\dfrac{-2}2=-1%%

 

Die Funktion hat demnach eine Nullstelle %%x_2=\left(2\vert0\right)%%

und eine doppelte Nullstelle %%x_{1,3}=\left(-1\vert0\right)%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Funktion ableiten.

%%f'(x)=3x^2-3%%

Funktion ableiten.

%%f''(x)=6x%%

 

 

 

Extrema bestimmen

%%f'(x)=3x^2-3%%

Setze die erste Ableitung gleich 0.

%%0=3x^2-3%%

%%\left|{+3}\right.%%

%%3=3x^2%%

%%\left|{:3}\right.%%

%%1=x^2%%

Die Gleichung trifft zu für %%x_1=1%% und %%x_2=-1%% .

%%x_1=1;\;x_2=-1%%

 

 

 

Extremum %%x=1%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Gefundenes x einsetzen.

%%f(1)=1^3-3\cdot1-2=-4%%

 

%%f''(x)=6x%%

Gefundenes x einsetzen.

%%f''(1)=6\cdot1=6%%

Da %%f''(1)>0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(1\vert-4\right)%% einen Tiefpunkt .

%%\mathrm{TP}=\left(1\vert-4\right)%%

 

 

 

Extremum %%x=-1%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f(-1)=\left(-1\right)^3-3\cdot\left(-1\right)-2=0%%

 

%%f''(x)=6x%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f''(-1)=6\cdot\left(-1\right)=-6%%

Da %%f''(-1)<0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%(-1\vert0)%% einen Hochpunkt .

%%\mathrm{HP}=\left(-1\vert0\right)%%

 

 

 

Wendepunkt bestimmen

%%f''(x)=6x%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=6x%%

%%\left|{:6}\right.%%

%%x=0%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f(0)=0^3-3\cdot0-2=-2%%

Damit ergeben sich die Koordinaten %%\left(0\vert-2\right)%%

%%\mathrm{WP}=\left(0\vert-2\right)%%

 

Geogebra File: /uploads/legacy/830.xml

 

Teilaufgabe b

Tangente t aufstellen

%%f'(x)=3x^2-3%%

%%x%%-Wert des Wendepunkts (0) einsetzen.

%%f'(x)=3\cdot0^2-3=-3%%

Das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts werden in die allgemeinen Geradengleichung eingesetzt, um t zu bestimmen.

%%-2=-3\cdot0+t%%

 

%%t=-2%%

Mit t und m lässt sich die Gleichung der Tangente aufstellen.

%%y=-3x-2%%

 

 

 

Normale n aufstellen

%%m_t\cdot m_n=-1%%

%%\left|{:m_t}\right.%%

%%m_n=\frac{-1}{m_t}%%

Die Tangentensteigung %%m_t%% einsetzen.

%%m_n=\frac{-1}{-3}=\frac13%%

Das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts werden in die allgemeinen Geradengleichung eingesetzt, um t zu bestimmen.

%%-2=\frac13\cdot0+t%%

 

%%t=-2%%

Mit t und m lässt sich die Gleichung der Tangente aufstellen.

%%y=\frac13x-2%%

 

 Geogebra File: /uploads/legacy/836.xml

 

Teilaufgabe c

%%y=\frac13x-2%%

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Zur Bestimmung des Integrals werden die Schnittpunkte der beiden Funktionen benötigt. Hierzu beide Funktionen gleichsetzen.

%%\frac13x-2=x^3-3x-2%%

%%\left|{-\frac13x}\right.\;+2%%

%%0=x^3-\frac{10}3x%%

%%0=x\left(x^2-\frac{10}3\right)%%

Die erste Nullstelle liegt bei 0, zur Bestimmung der weiteren Nullstellen wird nur das innere der Klammer betrachtet.

%%0=x^2-\frac{10}3%%

%%\left|{+\frac{10}3}\right.%%

%%x^2=\frac{10}3%%

Wurzel ziehen .

Aufgrund des Quadrates gibt es zwei Lösungen.

%%x=\pm\sqrt{\frac{10}3}%%

Den Integral aufstellen.

Es gibt zwei Flächen die durch die Schnitte entstehen.

Da beide Flächen gleich groß sind, wird nur die rechte Fläche (von 0 bis %%\sqrt{\frac{10}3}%% berechnet und dann mit 2 multipliziert )

%%A=2\cdot\int_0^\sqrt{\frac{10}3}\left(\left(x^3-3x-2\right)-\left(\frac13x-2\right)\right)\mathrm{dx}%%

Klammern auflösen.

  %%\phantom{A}=2\cdot\int_0^\sqrt{\frac{10}3}\left(x^3-3x-2-\frac13x+2\right)\mathrm{dx}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

  %%\phantom{A}=2\cdot\int_0^\sqrt{\frac{10}3}\left(x^3-\frac{10}3x\right)\mathrm{dx}%%

  %%\phantom{A}=2\cdot\left[\frac14x^4-\frac{10}{3\cdot2}x^2\right]_0^\sqrt{\frac{10}3}%%

In die Klammer wird für x der rechte Schnittpunkt ( %%\sqrt{\frac{10}3}%% ) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken (0) gerechnet.

  %%\phantom{A}=2\cdot\left(\left[\frac14\sqrt{\frac{10}3}^4-\frac53\sqrt{\frac{10}3}^2\right]-\left[\frac14\left(0\right)^4-\frac53\left(0\right)^2\right]\right)%%

Inneren Klammern auflösen.

  %%\phantom{A}=2\cdot\left(\frac14\cdot\left(\frac{10}3\right)^2-\frac53\cdot\frac{10}3\right)%%

In der Klammer die Elemente multiplizieren .

  %%\phantom{A}=2\cdot\left(\frac{25}3-\frac{50}9\right)%%

In der Klammer die Elemente subtrahieren .

  %%\phantom{A}=2\cdot\frac{25}9=\frac{50}9%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die gesuchte Fläche hatt den Flächeninhalt %%\frac{50}9\approx5,56%% Flächeneinheiten