70. Hilfestellungen

Auf unserem Weg zur Berechnung von Nullstellen gibt es ein paar Formeln und "Tricks", die sehr nützlich sein können. Manche davon wirst du schon kennen, manche können auch neu sein. Auf alle Fälle solltest du dir die folgenden Tricks merken.

Quadratische Lösungsformel (Mitternachtsformel)

Diese Formel liefert uns die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion (wenn es sie gibt!). Für eine quadratische Funktion $g$ mit $g(x) = ax^2 + bx + c$ liefert die quadratische Lösungsformel die Nullstellen:

Das Zeichen "$\pm$" sagt uns, dass es zwei Fälle zu unterscheiden gibt. Die erste Nullstelle ist gegeben durch die obige Formel, wenn man statt "$\pm$" nur ein "$+$" nimmt. Ersetzt man dagegen "$\pm$" durch ein "$-$", so kann sich eine weitere Nullstelle ergeben.

Diese Formel sagt uns auch, wann die Funktion $g$ keine Nullstellen hat. Das ist der Fall, wenn unter der Wurzel in der Formel eine negative Zahl steht.

Mehr zu dieser Formel findest du im Artikel Mitternachtsformel. Für den Spezialfall, das $a =1$ ist, gibt es auch eine etwas einfachere Formel, die pq-Formel. Es genügt aber, die quadratische Lösungsformel zu kennen, da sie auch die Fälle, wenn $a$ ungleich $1$ ist, abdeckt.

Die binomischen Formeln

Es gibt drei binomische Formeln. Die ersten zwei Formeln sagen uns, wie die zweite Potenz eines Linearfaktors aussieht. Linearfaktoren sind wichtige Informationen bei der Nullstellensuche, nicht vergessen ;). Die dritte ist ein bisschen anders, aber genauso hilfreich.

Erste binomische Formel

Für eine beliebige positive Zahl $a$ und eine beliebige Zahl $x$ gilt:

Oft wollen wir diese Formel von "rechts nach links" benutzen, da wir oftmals Terme wie auf der rechten Seite gegeben haben. Die linke Seite ist ja ein Linearfaktor "hoch $2$". Damit ist die linke Seite hilfreicher, um die Nullstelle eines Polynoms zu finden.

Zweite binomische Formel

Für eine beliebige positive Zahl $a$ und eine beliebige Zahl $x$ gilt:

Aufgepasst! Auch hier verlangen wir, dass $a$ positiv ist. Nur diesmal subtrahieren wir diese Zahl von $x$. Auch diese Formel lesen wir gerne rückwärts.

Dritte binomische Formel

Für eine beliebige positive Zahl $a$ und eine beliebige Zahl $x$ gilt:

Diese Formel ist ziemlich mächtig. Wenn wir zum Beispiel den Term $x^2 - 25$ sehen, müssen wir nur erkennen, dass $25$ nichts anderes als $5^2$ ist. Die dritte binomische Formel sagt uns dann, dass genau $5$ und $-5$ die Nullstellen von $x^2 - 25$ sind.