Aufgaben

Wähle jeweils den richtigen Scheitelpunkt aus.

Bestimme mithilfe der Scheitelform den jeweiligen Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

%%f\left(x\right)=\left(x-4\right)^2%%

%%f(x)=(x-4)^2%%

Die Funktionsgleichung befindet sich bereits in Scheitelform (Scheitelpunktsform): %%f(x)=a(x-d)^2+e%%.

Lies die Parameter %%a,d,e%% vom gegebenen Graphen ab.

%%a=1%%, %%d=4%% und %%e=0%%

Damit ergibt sich der Scheitelpunkt als %%(d|e)%%.

%%S=(d|e) = (4|0)%%.

%%f\left(x\right)=x^2+2x+1%%

Du kannst den Scheitelpunkt finden, indem du die Parabel auf Scheitelform bringst und daraus den Scheitelpunkt abliest:

%%f(x)=x^2+2x+1%%

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x+1\right)^2%%

Die Funktion hat nun Scheitelform.

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=( -1 | 0 )%%

Gib jeweils die Koordinaten des Scheitels an.

%%f(x)=-12\;+\left(x+8\right)^2%%

Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform, es sind lediglich die beiden Summanden vertauscht.

%%f(x)=−12+(x+8)^2%%

Vertausche die Summanden.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x+8\right)^2 - 12%%

Lies die Parameter %%a%%, %%d%% und %%e%% aus der Scheitelform ab.

%%a=1%%, %%d=-8%% und %%e=-12%%.

Den Scheitelpunkt erhältst du als %%S=(d|e)%%

%%\Rightarrow S=(-8|-12)%%

%%f(x)= x^2-4x+4%%

1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform

%%f(x)=x^2-4x+4%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-2\right)^2%%

Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen, da die Funktion in Scheitelform ist.

%%\Rightarrow S=(2|0)%%

2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form

%%f(x)=x^2-4x+4%%

Bestimme %%a%%, %%b%% und %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1, b=-4, c=4%%

Nun kannst du diese in die Formel

%%S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left(-\frac{(-4)}{2\cdot1} \left|4-\frac{(-4)^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(2|0)%%

%%f(x)= x^2+2x-3%%

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

%%f(x)=x^2+2x-3%%

%%\hphantom{f(x)}=x^2+2x+1-1-3%%

Benutze die 1. binomische Formel.

%%=\left(x+1\right)^2-4%%

Da die Parabel jetzt in Scheitelform ist, kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-1|-4)%%

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

%%x^2+2x-3%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=2%%, %%c=-3%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac{2}{2\cdot1}\left|-3-\dfrac{2^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(-1|-4)%%

%%f(x)=\left(3-x\right)^2%%

Scheitelpunkt bestimmen

In dieser Aufgabe ist die Parabel schon beinahe in Scheitelform gegeben; die restlichen nötigen Umformungen lauten:

%%f(x)=\left(3-x\right)^2%%

Klammere %%-1%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\left(\left(-1\right)\left(x-3\right)\right)^2%%

Quadriere die einzelnen Faktoren.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-3\right)^2%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=(3|0)%%

Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

%%f\left(x\right)=3\left(x-2\right)^2-4%%

%%f(x)=3(x−2)^2−4%%

%%f%% liegt bereits in Scheitelform vor.
Lies die Parameter %%a%%, %%d%% und %%e%% der Scheitelform ab.

%%a=3%%, %%d=2%% und %%e=-4%%

Dann ist %%S=(d|e)%% der Scheitelpunkt von %%f%%.

%%\Rightarrow S=(2|-4)%%

%%f\left(x\right)=2x^2-4,8x+0,88%%

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

%%f(x)=2x^2-4,8x+0,88%%

Klammere %%2%% vor den x-Termen aus.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2,4x\right)+0,88%%

Ergänze quadratisch mit %%1,2^2%%.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1,2x+1,2^2-1,2^2\right)+0,88%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1,2x+1,2^2\right)-2,88+0,88%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1,2x+1,2^2\right)-2%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=2\left(x-1,2\right)^2-2%%

Lies den Scheitelpunkt ab

%%\Rightarrow S=\;\left(\left.1,2\;\right|\;-2\right)%%

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

%%f(x)=2x^2-4,8x+0,88%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=2%%, %%b=-4,8%%, %%c=0,88%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac{(-4,8)}{2\cdot2}\left|0.88-\dfrac{(-4.8)^2}{4\cdot2}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(1,2|-2)%%

%%f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)%%

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

%%f(x)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)%%

Multipliziere aus

%%\hphantom{f(x)}=x^2+x-6%%

%%\hphantom{f(x)}=x^2+2\cdot \frac12x+(\frac12)^2-(\frac12)^2-6%%

%%\hphantom{f(x)}=\left(x+0,5\right)^2-6,25%%

Lies nun den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=(-\frac12|-6\frac14)%%

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

%%f(x)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)%%

Multipliziere aus.

%%\hphantom{f(x)}=x^2+x-6%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=1%%, %%c=-6%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S\left(-\dfrac{1}{2\cdot1}\left|-6-\dfrac{1^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(-\frac12|-6\frac14)%%

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion %%f%% mit der Funktionsgleichung %%f(x)=x^2+4x-5%% anhand deren Nullstellen.

%%f(x)=x^2+4x-5%%

Berechne die Nullstellen von %%f%%, z.B. mit der PQ-Formel:

%%x=-2 \pm \sqrt{2^2 - (-5)}%%

%%\hphantom{x}= -2 \pm \sqrt{9}%%

%%\hphantom{x}= -2 \pm 3 \in \{-5, 1\}%%

Da %%f%% ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen. Somit sind %%-5%% und %%1%% genau die Nullstellen von %%f%%.

%%f(x)=0 \Leftrightarrow%%

%%x^2+4x-5 = 0 \Leftrightarrow%%

%%x \in \{-5,1\}%%

Der %%x%%-Wert %%x_{s}%% des Scheitels liegt genau mittig zwischen diesen beiden Nullstellen.

Also ist %%x_s=-2%%.

Bestimme nun den %%y%%-Wert des Scheitels, indem du den %%x%%-Wert %%x_{s}%% in die Funktionsgleichung von %%f%% einsetzt:

$$\begin{align}f(x_s)&=f(-2)\\&=(-2)^2+4\cdot(-2)-5\\&=4-8-5\\&=-9\end{align}$$

Der Scheitelpunkt von %%f%% ist also %%S=(-2|-9)%%.

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion %%f%% mit der Funktionsgleichung %%f(x)=-2x^2+6x-2,5%% anhand deren Nullstellen.

%%f(x)=−2x^2+6x−2,5%%

Berechne die Nullstellen von %%f%%, z.B. mit der Mitternachtsformel:

$$\begin{align}x&=\frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot(-2) \cdot (-2,5)}}{2 \cdot (-2)}\\&=\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{36 - 20}}{-4}\\&= \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{-4}\\&=\frac32 \pm (-1) \in \{\frac12, \frac52\}\end{align}$$

Da %%f%% ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen.

Die Nullstellen von %%f%% sind also %%0,5%% und %%2,5%%.

Der %%x%%-Wert des Scheitels %%x_s%% liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen. Die Zahl %%1,5%% liegt zwischen %%0,5%% und %%2,5%%.

Also ist %%x_s=1,5%%.

Bestimme nun den %%y%%-Wert des Scheitels, indem du den %%x%%-Wert in die Funktionsgleichung von %%f%% einsetzt.

%%f(x_s)= f(0)=-2 \cdot (1,5)^2+6 \cdot 1,5-2,5=2%%

Der Scheitelpunkt von %%f%% ist demnach %%S=(1,5|2)%%.

Bestimme den Scheitel:

%%f(x)=x^2-3x-\frac34%% (mit quadratischer Ergänzung)

%%f(x)=x^2-3x-\frac34%%

%%\hphantom{f(x)}=x^2-2\cdot1,5x+1,5^2-1,5^2-\frac34%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-2,25-\frac34%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-3%%

Lies den Scheitel ab.

%%\Rightarrow S=\left(1,5|-3\right)%%

%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-24x\right)-11%%

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2-12^2\right)-11%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+36-11%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+25%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x-12\right)^2+25%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\left(12|25\right)%%

%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%  (mit Hilfe der Nullstellen)

%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%

$$\begin{align}x&=\frac{-4\pm\sqrt{16+4\cdot0,5\cdot24}}{2\cdot0,5}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{1}\\&=-4\pm8\end{align}$$

Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : %%\frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4%%.

Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.

$$\begin{align}f(-4)&=0,5 \cdot \left(-4\right)^2+4\cdot\left(-4\right)-24\\&=-32\end{align}$$

%%\Rightarrow S=\left(-4|-32\right)%%

%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

Klammere die %%-2%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x\right)+10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%4%%.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x+2^2-2^2\right)+10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]+10%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+8+10%%

Bringe den Term auf Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+18%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow\;\mathrm S=\left(2\vert18\right)%%

%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

Klammere %%3%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2- \frac{4}{3}x\right)+18%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac{\mathbf4}{\mathbf3}%%.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2-\frac43 x+\left(\frac23\right)^2-\left(\frac23\right)^2\right)+18%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=3\left[\left(x-\frac23\right)^2-\frac49\right]+18%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2-\frac43+18%%

Bringe den Term auf Scheitelform .

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2+16\frac23%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(\frac23\vert16\frac23\right)%%

%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

Klammere %%-5%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x^2+\frac15x\right)-2%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac15%%.

%%\hphantom{f(x)}=(-5)\cdot\left(x^2+\frac15x+\left(\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(\left(x+\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Multpliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2+\frac5{100}-2%%

Berechne die rechte Summe.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2-1,95%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\;\left(\left.-\frac1{10}\right|-1,95\right)%%

%%f\left(x\right)=2x+0,1x^2-10%%

%%f\left(x\right)=2x+0,1x^2-10%%

Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.

%%\hphantom{f(x)}=0,1x^2+2x-10%%

Klammere %%0,1%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=0,1\left(x^2+20x\right)-10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.

%%\hphantom{f(x)}=0,1\left(x^2+20x+10^2-{10}^2\right)-10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=0,1{\left(\left(x+10\right)^2-100\right)}-10%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=0,1\left(x+10\right)^2-10-10%%

Bringe den Term auf die Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=0,1\left(x+10\right)^2-20%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(-10\vert-20\right)%%

%%f(x)=\frac12x^2+3x-4%%

%%\frac12x^2+3x−4=0%%

Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.

%%x_1= \dfrac{-3+\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_1}=-3+\sqrt{17}%%

%%x_2= \dfrac{-3-\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_2} = -3-\sqrt{17}%%

Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: %%x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-6}{2} = -3%%

Setzt man diesen %%x%%-Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes:

%%f(x_s)= \frac12 \cdot 9 -9 -4= -8,5%%

%%\Rightarrow S=(-3|-8,5)%%

%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

Klammere %%\frac23%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x)%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x+6^2-6^2)%%

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23((x+6)^2-36)%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23 (x+6)^2 - 24%%

%%f%% ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-6|-24)%%

%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

Klammere %%\frac56%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\left(x^2+\frac65x-\frac65\right)%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left(x^2+\frac65x+(\frac35)^2-(\frac{3}{5})^2-\frac65\right)%%

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left( \left(x+\frac35\right)^2-\frac{9}{25} -\frac{30}{25} \right)%%

Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac56 \cdot \frac{39}{25}%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac{39}{30}%%

Nun hast du %%f%% in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-\frac35|-1\frac{3}{10})%%

%%f(x)=-0,5x^2+20x-30%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=−0,5x^2+20x−30=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%x_1=\dfrac{-20+\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=+20-\sqrt{340}%%

%%x_2=\dfrac{-20-\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=20 +\sqrt{340}%%

%%x_{1}%% und %%x_{2}%% sind damit reelle Zahlen und es gilt:

%%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{40}{2}=20%%

Setzt man den %%x%%-Wert %%x_{s}%% des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen %%y%%-Wert:

%%f(x_{s})=f(20)=−0,5 \cdot 20^2+20 \cdot 20−30 = -200 + 400-30=170%%

%%\Rightarrow S=(20 | 170)%%

%%f(x)=-\frac34x^2+x%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=\dfrac{-3}{4}x^2+x=0%%

Klammere %%x%% aus.

%%\Leftrightarrow x(\frac{-3}{4}x+1)=0%%

Eine Nullstelle ist also %%x=0%%. Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du %%\frac{-3}{4}x+1=0%% weiter nach %%x%% auflöst:

%%\frac{-3}{4}x=-1%%

|%%\cdot\frac{-4}{3}%%

%%x=\frac43%%

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

Der Scheitelpunkt hat also den %%x%%-Wert %%x_{s}=\frac{x_1 + x_2}{2}=\frac12 \cdot \frac43= \frac23%%.

Setze den %%x%%-Wert in die Funktionsvorschrift ein.
So bekommst du den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes.

%%f(x_{s})=f(\frac23)=\frac{-3}{4}\cdot(\frac23)^2+\frac23=\frac{-3}{4} \cdot \frac{4}{9}+\frac23=-\frac13+\frac23=\frac13%%.

%%\Rightarrow S=(\frac 23 | \frac13)%%

Gib die rechte Seite der Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel %%f%% an.

Die Parabel %%f%% hat ihren Scheitel im Punkt %%(1|1)%%.

  • Die Funktionsgleichung ist also von der Form %%f(x)=a(x-1)^2+1%%, wobei du %%a%% noch zu bestimmen hast.

Wie du anhand der Graphik erkennen kannst, durchläuft %%f%% auch den Punkt %%(3|3)%%. Es gilt also:

%%f(3)=3%%

Setze die Abbildungsvorschrift von %%f%% ein.

%%\Leftrightarrow a(3-1)^2+1 = 3%%

Vereinfache die Ausdrücke.

%%\Leftrightarrow a \cdot2^2 + 1=3%%

Ziehe %%1%% auf beiden Seiten der Gleichung ab.

%%\Leftrightarrow 4a = 2%%

Teile durch %%4%%.

%%\Leftrightarrow a = 0,5%%

Somit ist %%f(x) = 0,5(x-1)^2+1%%.

Berechne den Scheitelpunkt folgender Funktionen mithilfe der Formel.

%%f(x) = x^2 - 6x + 9%%

%%f(x)=x^2+6x+9%%

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%% direkt ablesen kann.

%%a=1, b=6, c=9%%

Nun kann man diese in die Formel

%%S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left(-\frac{6}{2\cdot1} \left|9-\frac{6^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(-3|0)%%

%%f(x)=x^2-6x+10%%

%%f(x)=x^2-6x+10%%

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kann.

%%a=1, b=-6, c=10%%

Nun kannst du diese in die Formel

%%S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left (-\frac{(-6)}{2\cdot1} \left|10-\frac{(-6)^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=\left(3\vert1\right)%%.

%%f(x)= 2x^2+x-3%%

%%f(x)=2x^2+x-3%%

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten %%a%%,%%b%% und %%c%% direkt ablesen kann.

%%a=2, b=1, c=-3%%

Nun kann man diese in die Formel

%%S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left(-\frac1{2\cdot2}\left|-3-\frac{1^2}{4\cdot2}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=\left(-\frac14\vert-\frac{25}{8}\right)%%.

%%f(x)=3x^2 - 12x + 15%%

%%f(x)= 3x^2-12x+15%%

Die Funktion liegt bereits in der allgemeinen Form vor, sodass du die Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%% direkt ablesen kannst.

%%a=3, b=-12, c=15%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\frac{(-12)}{2\cdot3}\left|15-\frac{(-12)^2}{4\cdot3}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=\left(2\vert3\right)%%

%%f(x) = 16x^2 - 8x + 2%%

%%f(x)= 16x^2-8x+2%%

Die Funktion ist bereits in allgemeiner Form gegeben, sodass du die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kannst.

%%a=16, b=-8, c=2%%

Diese setzt du in die Formel

%%S=\left (-\dfrac b{2\cdot a}\left|-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)%%

ein.

%%S=\left(-\frac{-8}{2\cdot16}\left|2-\frac{(-8)^2}{4\cdot16}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(\frac14|1)%%

%%f(x) = - 6x^2 - 24x - 29%%

%%f(x)=-6x^2-24x-29%%

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%% direkt ablesen kann:

%%a=-6, b=-24, c=-29%%

Nun kann man diese in die Formel

%%S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left| c-\dfrac{b^2}{4a} \right.\right)%%

einsetzen.

%%S=\left (-\frac{-24}{2\cdot(-6)} \left| -29-\frac{(-24)^2}{4\cdot(-6)}\right.\right)%%

Fasse zusammen, indem du die Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(-2|-5)%%

%%f(x) = 2(x^2-4x+5)%%

%%f(x) = 2(x^2-4x+5)%%

%%\hphantom{f(x)}= 2x^2-8x+10%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=2%%, %%b=-8%%, %%c=10%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac{(-8)}{2\cdot2}\left|10-\dfrac{(-8)^2}{4\cdot2}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(2|2)%%

%%f(x) = x(x-2)+6%%

%%f(x) = x(x-2)+6%%

%%\hphantom{f(x)} = x^2-2x+6%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=-2%%, %%c=6%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac{(-2)}{2\cdot1}\left|6-\dfrac{(-2)^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S(1|5)%%

%%f(x) = x^2+\frac{1}{9}(6x-26)%%

%%f(x) = x^2+\dfrac{1}{9}(6x-26)%%

Multipliziere aus und fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}= x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{26}{9}%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=\dfrac23%%, %%c=-\dfrac{26}9%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac {\frac23} {2\cdot 1}\left|\;-\dfrac{26}9-\dfrac{\left(\frac23\right)^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=\left(\left.-\frac13\right|-3\right)%%

%%f(x)=(x-2)(x+2)%%

%%f(x)=(x-2)(x+2)%%

Multipliziere aus und fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}= x^2-4%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=1%%, %%b=0%%, %%c=4%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S=\left(-\dfrac0{2\cdot1}\left|4-\dfrac{0^2}{4\cdot1}\right.\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%\Rightarrow S=(0|4)%%

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