Aufgaben

Bestimme den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden.

Zu text-exercise-group 12585:
Nish 2018-04-14 19:57:04+0200
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Alle Teilaufgaben sollten mal auf mathematishe Korrektheit und noch bei Gelegenheit nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
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%%{\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}%%   und   %%{\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%

Schnittwinkel bestimmen

%%{\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}%%   und   %%{\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren

mit dem Skalarprodukt.

%%\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}%%     %%=\frac{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|}=%%

               

%%=\frac{2-2-2}{\sqrt6\cdot\sqrt9}=%%

%%=\frac{-2}{3\cdot\sqrt6}%%

 

Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein

 

 

 

 

Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus  

 

%%\mathrm\varphi=\arccos\;\left(\frac{-2}{3\cdot\sqrt6}\right)=%% %%=105,8^\circ%%

Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte (kleinere) Schnittwinkel ist also  %%180^\circ-105.8^\circ=74.2^\circ%% .

%%{\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%   und   %%{\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}%%

Schnittwinkel bestimmen

%%{\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%   und   %%{\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}%%

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren

mit dem Skalarprodukt.

%%\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=%%

                 %%=\frac{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\right|}=%%

                 %%=\frac{1\cdot3+2\cdot3+1\cdot3}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+3^2+3^2}}=%%

                 %%=\frac{12}{\sqrt6\cdot\sqrt{27}}=%%

                 %%=\frac{12}{9\cdot\sqrt2}%%

 

Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein

 

 

 

 

Berechne das  Skalarprodukt  und die  Beträge der Vektoren

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Verwende die  Umkehrfunktion des Cosinus  

 

%%\mathrm\varphi=\arccos\;\left(\frac{12}{9\cdot\sqrt2}\right)=%%

     %%=19.47^\circ%%

%%{\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}%%   und   %%{\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}%%

Schnittwinkel bestimmen

%%{\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}%%   und   %%{\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}%%

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren

mit dem Skalarprodukt.

%%\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=%%

               %%=\frac{\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}\right|}=%%

               %%=\frac{\left(-4\right)\cdot\left(-4\right)+(-2)\cdot(-4)+6\cdot10}{\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+6^2}\cdot\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+10^2}}=%%

               %%=\frac{84}{\sqrt{56}\cdot\sqrt{132}}=%%

               %%=\frac{84}{2\cdot\sqrt{14}\cdot2\cdot\sqrt{33}}=%%

               %%=\frac{21}{\sqrt{462}}%%

 

Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein

 

 

 

 

Berechne das  Skalarprodukt  und die  Beträge der Vektoren

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Verwende die  Umkehrfunktion des Cosinus  

 

%%\mathrm\varphi=\arccos\;\left(\frac{21}{\sqrt{462}}\right)=%%

     %%=12.31^\circ%%

Bestimme den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene.
g:  x=(121)+r(212)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}   und   E:  (231)[x(101)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0

Schnittwinkel berechnen

[wiki=411][/wiki]
g:  x=(121)+r(212)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}  und  E:  (231)[x(101)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mit dem
cos  (φ)=abab=\cos\;(\mathrm\varphi)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=
            =(212)(231)(212)(231)==\frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\right|}=
            =22+(1)(3)+(2)122+(1)2+(2)222+(3)2+12==\frac{2\cdot2+(-1)\cdot(-3)+(-2)\cdot1}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}=
            =4+324+1+44+9+1==\frac{4+3-2}{\sqrt{4+1+4}\cdot\sqrt{4+9+1}}=
            =5914==\frac5{\sqrt9\cdot\sqrt{14}}=
                =5314=\frac5{3\cdot\sqrt{14}}
Setze die beiden Vektoren ein
 
 
 
 
Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ=arcos(5314)=\mathrm\varphi=\mathrm{arcos}\left(\frac5{3\cdot\sqrt{14}}\right)=
    =63.55=63.55^\circ
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  α=90φ\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi .
α=90.0063.55=\mathrm\alpha=90.00^\circ-63.55^\circ=
     =26.45=26.45^\circ


g:  x=(221)+r(111)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}   und   E:  x=(115)+r(201)+s(113)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}

Schnittwinkel berechnen

[wiki=411][/wiki]
g:  x=(221)+r(111)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}  und  E:  x=(115)+r(201)+s(113)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}
Bestimme den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt
(201)×(113)=(172)\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mit dem
cos  (φ)=abab=\cos\;(\mathrm\varphi)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=
            =(172)(111)(172)(111)==\frac{\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right|}=
            =11+(7)(1)+(2)112+(7)2+(2)212+(1)2+12==\frac{1\cdot1+(-7)\cdot(-1)+(-2)\cdot1}{\sqrt{1^2+(-7)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=
            =1+721+49+41+1+1==\frac{1+7-2}{\sqrt{1+49+4}\cdot\sqrt{1+1+1}}=
            =6543==\frac6{\sqrt{54}\cdot\sqrt3}=
                =6318=\frac6{3\cdot\sqrt{18}}
Setze die beiden Vektoren ein
 
 
 
 
Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ=arccos(5314)=\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\frac{5}{3\cdot\sqrt{14}}\right)=
     =61.87=61.87^\circ
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  α=90φ\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi .
α=90.0061.87=\mathrm\alpha=90.00^\circ-61.87^\circ=
     =28.13=28.13^\circ


g:  x=(9420)+r(406)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}   und   E:  (311)x+6=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6=0

Schnittwinkel berechnen

[wiki=411][/wiki]
g:  x=(9420)+r(406)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}  und  E:  (311)x+6  =0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6\;=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mit dem
cos  (φ)=abab=\cos\;(\mathrm\varphi)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=
            =(406)(311)(406)(311)==\frac{\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\right|}=
            =43+01+(6)(1)42+02+(6)232+12+(1)2==\frac{4\cdot3+0\cdot1+(-6)\cdot(-1)}{\sqrt{4^2+0^2+(-6)^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2+(-1)^2}}=
            =12+616+0+369+1+1==\frac{12+6}{\sqrt{16+0+36}\cdot\sqrt{9+1+1}}=
            =185211==\frac{18}{\sqrt{52}\cdot\sqrt{11}}=
                =182143=\frac{18}{2\cdot\sqrt{143}}
Setze die beiden Vektoren ein
 
 
 
 
Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ=arccos(182143)=\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\frac{18}{2\cdot\sqrt{143}}\right)=
     =41.18=41.18^\circ
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  α=90φ\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi .
α=90.0041.18=\mathrm\alpha=90.00^\circ-41.18^\circ=
     =48.82=48.82^\circ


g:  x=(232)+r(113)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}   und   E:  x=(311)+r(121)+s(012)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}

Schnittwinkel berechnen

[wiki=411][/wiki]
g:  x=(232)+r(113)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}  und  E:  x=(311)+r(121)+s(012)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}
Bestimme den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt
(121)×(012)=(521)\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mit dem
cos  (φ)=abab=\cos\;(\mathrm\varphi)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=
            =(113)(521)(113)(521)==\frac{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}\right|}=
            =1(5)+(1)(2)+3(1)12+(1)2+32(5)2+(2)2+(1)2==\frac{1\cdot(-5)+(-1)\cdot(-2)+3\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+(-1)^2}}=
            =5+231+1+925+4+1==\frac{-5+2-3}{\sqrt{1+1+9}\cdot\sqrt{25+4+1}}=
            =61130==\frac{-6}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{30}}=
                =6330=\frac{-6}{\sqrt{330}}
Setze die beiden Vektoren ein
 
 
 
 
Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ=arccos(6330)=\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\frac{-6}{\sqrt{330}}\right)=
     =109.3=109.3^\circ
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  α=90φ\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi .
α=90.00109.3=\mathrm\alpha=90.00^\circ-109.3^\circ=
     =19.3=-19.3^\circ

Der eingeschlossene Winkel beträgt also  19.319.3^\circ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.

g:  x=(132)+r(210)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}   und   E:  x1+x2+2x311=0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11=0

Schnittwinkel berechnen

[wiki=411][/wiki]
g:  x=(132)+r(210)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}  und  E:  x1+x2+2x311  =0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11\;=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mit dem
cos  (φ)=abab=\cos\;(\mathrm\varphi)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=
            =(210)(112)(210)(112)==\frac{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right|}=
            =21+11+0222+12+0212+12+22==\frac{2\cdot1+1\cdot1+0\cdot2}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=
            =2+14+1+01+1+4==\frac{2+1}{\sqrt{4+1+0}\cdot\sqrt{1+1+4}}=
            =356==\frac3{\sqrt5\cdot\sqrt6}=
                =330=\frac3{\sqrt{30}}
Setze die beiden Vektoren ein
 
 
 
 
Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ=arccos(330)=\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\frac{3}{\sqrt{30}}\right)=
     =56.79=56.79^\circ
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  α=90φ\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi .
α=90.0056.79=\mathrm\alpha=90.00^\circ-56.79^\circ=
     =33.21=33.21^\circ


g:  x=(231)+r(231)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}   und   E:  (342)x4=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4=0

Schnittwinkel berechnen

[wiki=411][/wiki]
g:  x=(231)+r(231)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}  und  E:  (342)x4  =0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4\;=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mit dem
cos  (φ)=abab=\cos\;(\mathrm\varphi)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=
            =(231)(342)(231)(342)==\frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\right|}=
            =23+(3)4+1(2)22+(3)2+1232+42+(2)2==\frac{2\cdot3+(-3)\cdot4+1\cdot(-2)}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+4^2+(-2)^2}}=
            =61224+9+19+16+4==\frac{6-12-2}{\sqrt{4+9+1}\cdot\sqrt{9+16+4}}=
            =81429==\frac{-8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{29}}=
                =8406=\frac{-8}{\sqrt{406}}
Setze die beiden Vektoren ein
 
 
 
 
Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ=arccos(8406)=\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\frac{-8}{\sqrt{406}}\right)=
     =113.4=113.4^\circ
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  α=90φ\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi .
α=90.00113.4=\mathrm\alpha=90.00^\circ-113.4^\circ=
     =23.4=-23.4^\circ

Der eingeschlossene Winkel beträgt also  23.423.4^\circ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.

g:  x=(513)+r(721)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}   und   E:  x14x35=0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_3-5=0

Schnittwinkel berechnen

[wiki=411][/wiki]
g:  x=(513)+r(721)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}  und  E:  x14x35=0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_3-5=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mit dem
cos  (φ)=abab=\cos\;(\mathrm\varphi)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=
            =(721)(104)(721)(104)==\frac{\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix}\right|}=
            =71+(2)0+1(4)72+(2)2+1212+02+(4)2==\frac{7\cdot1+(-2)\cdot0+1\cdot(-4)}{\sqrt{7^2+(-2)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2+(-4)^2}}=
            =7449+4+11+16==\frac{7-4}{\sqrt{49+4+1}\cdot\sqrt{1+16}}=
            =35417==\frac3{\sqrt{54}\cdot\sqrt{17}}=
                =1102=\frac1{\sqrt{102}}
Setze die beiden Vektoren ein
 
 
 
 
Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ=arccos(1102)=\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\frac{1}{\sqrt{102}}\right)=
     =84.32=84.32^\circ
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  α=90φ\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi .
α=90.0084.32=\mathrm\alpha=90.00^\circ-84.32^\circ=
     =5.68=5.68^\circ


Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen.
Zu text-exercise-group 12635:
Nish 2017-11-19 15:02:27+0100
Bei Teilaufgabe a) habe ich die Lösung nach den aktuellen Vorstellungen der Richtlinien überarbeitet.
Bei den Teilaufgaben b) bis g) muss das noch gemacht werden.

LG,
Nish
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E1:  (213)[x(111)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0   und   E2:  (121)[x(212)]=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\cdot\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]=0

Schnittwinkel berechnen


Für diese Aufgabe musst du die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen kennen.
E1:  (213)[x(111)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0
E2:  (121)[x(212)]=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt.
cos  (φ)=abab=\cos\;(\mathrm\varphi)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}=
Setze die beiden Vektoren ein.
=(213)(121)(213)(121)==\frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\right|}=
Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
=21+(1)2+3(1)22+(1)2+3212+22+(1)2=2234+1+91+4+1==\frac{2\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-1)}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{2-2-3}{\sqrt{4+1+9}\cdot\sqrt{1+4+1}}=