Gegeben ist die Gerade  %%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}%%  und der Punkt  %%\mathrm P(1;\;-3;\;-3)%%  , der nicht auf der Geraden liegt. Bestimme die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  in Parameterform, in der der Punkt  %%\mathrm P%%  und die Gerade  %%\mathrm g%%  liegen.

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle den Richtungsvektor der Geraden  %%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}%%  als ersten

Richtungsvektor und den Vektor zwischen dem Punkt %%\mathrm P%%  und dem

Aufpunkt %%\mathrm A%%  der Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene %%\mathrm E%% .

Berechne  %%\overrightarrow{\mathrm{PA}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm A}-\overrightarrow{\mathrm P}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\mathrm P%%  als Aufpunkt der Ebene %%\mathrm E%%  . 

%%\Rightarrow\;\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%