Aufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Normalenform um.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

%%\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}%%

Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor  %%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}%%  als Aufpunkt der Ebene.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0%%

Setze  %%\overrightarrow{\mathrm n}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm a}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}%%

Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

%%\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}%%

Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor  %%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}%%  als Aufpunkt der Ebene.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

%%\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}%%

Wähle den Punkt Koordinatenursprung als Aufpunkt der Ebene.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow0\right]=0%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0%%

%%\Leftrightarrow\;\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}=0%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

%%\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}%%

Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor  %%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}%%  als Aufpunkt der Ebene.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0%%

Setze  %%\overrightarrow{\mathrm n}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm a}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right]=0%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

%%\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}%%

Klammere  %%\frac14%%  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}%%

Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor  %%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}%%  als Aufpunkt der Ebene.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0%%

Setze  %%\overrightarrow{\mathrm n}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm a}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}%%

Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  %%{\mathrm x}_1{\mathrm x}_3-\mathrm{Ebene}%% )

%%\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-7\\0\end{pmatrix}%%

Klammere  %%-7%%  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}%%

Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor  %%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}%%  als Aufpunkt der Ebene.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0%%

Setze  %%\overrightarrow{\mathrm n}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm a}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right]=0%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-20\\-20\\10\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}15\\10\\20\end{pmatrix}%%

Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als

Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

%%\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-20\\-20\\10\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}15\\10\\20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-500\\550\\100\end{pmatrix}%%

Klammere  %%50%%  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-10\\11\\2\end{pmatrix}%%

 

Alternative: Meistens ist es einfacher, zuerst die

Richtungsvektoren der Ebene zu vereinfachen

und dann erst das Kreuzprodukt zu berechnen.

Klammere im ersten Richtungsvektor  %%10%%  und im zweiten Richtungsvektor  %%5%%  aus.

%%\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\11\\2\end{pmatrix}%%

 

Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor  %%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}%%

als Aufpunkt der Ebene.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0%%

Setze  %%\overrightarrow{\mathrm n}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm a}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-10\\11\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0%%

Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0%%

Ebene von Normalenform in Koordinatenform umwandeln

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0%%

Berechne das Skalarprodukt .

%%Syntax error from line 1 column 261 to line 1 column 315. Unexpected 'lspace'.%%

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

%%\mathrm E:\;6{\mathrm x}_1-6-{\mathrm x}_2-4{\mathrm x}_3+12=0%%

Fasse zusammen.

%%\mathrm E:\;6{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2-4{\mathrm x}_3+6=0%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0%%

Ebene von Normalenform in Koordinatenform umwandeln

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0%%

Berechne das Skalarprodukt .

%%\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+\left(-7\right)\cdot\left({\mathrm x}_2-1\right)+2\cdot\left({\mathrm x}_3-2\right)=0%%

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

%%\mathrm E:\;4{\mathrm x}_1-7{\mathrm x}_2+7+2{\mathrm x}_3-4=0%%

Fasse zusammen.

%%\mathrm E:\;4{\mathrm x}_1-7{\mathrm x}_2+2{\mathrm x}_3+3=0%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}=0%%

Ebene von Normalenform in Koordinatenform umwandeln

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}=0%%

Berechne das Skalarprodukt .

%%\mathrm E:\;-6{\mathrm x}_1-3{\mathrm x}_2+2{\mathrm x}_3=0%%

%%\Leftrightarrow\;\mathrm E:\;6{\mathrm x}_1+3{\mathrm x}_2-2{\mathrm x}_3=0%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right]=0%%

Ebene von Normalenform in Koordinatenform umwandeln

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right]=0%%

Berechne das Skalarprodukt .

%%\mathrm E:\;-4\cdot\left({\mathrm x}_1-1\right)+\left(-2\right)\cdot\left({\mathrm x}_2-1\right)+1\cdot\left({\mathrm x}_3+1\right)=0%%

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

%%\mathrm E:\;-4{\mathrm x}_1+4-2{\mathrm x}_2+2+{\mathrm x}_3+1=0%%

Fasse zusammen.

%%\mathrm E:\;-4{\mathrm x}_1-2{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3+7=0%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0%%

Ebene von Normalenform in Koordinatenform umwandeln

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0%%

Berechne das Skalarprodukt .

%%\mathrm E:\;1\cdot\left({\mathrm x}_1-3\right)+\left(-1\right)\cdot\left({\mathrm x}_3-2\right)=0%%

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

%%\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-3-{\mathrm x}_3+2=0%%

Fasse zusammen.

%%\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3-1=0%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right]=0%%

Ebene von Normalenform in Koordinatenform umwandeln

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right]=0%%

Berechne das Skalarprodukt .

%%\mathrm E:\;1\cdot\left({\mathrm x}_2-2\right)=0%%

%%\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-2=0%%

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  %%{\mathrm x}_1{\mathrm x}_3-\mathrm{Ebene}%% )

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-500\\550\\100\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0%%

Ebene von Normalenform in Koordinatenform umwandeln

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-500\\550\\100\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0%%

Berechne das Skalarprodukt .

%%\mathrm E:\;-500\cdot\left({\mathrm x}_1-40\right)+550\cdot\left({\mathrm x}_2-80\right)+100\cdot{\mathrm x}_3=0%%

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

%%\mathrm E:\;-500{\mathrm x}_1+20000+550{\mathrm x}_2-44000+100{\mathrm x}_3=0%%

Fasse zusammen.

%%\mathrm E:\;-500{\mathrm x}_1+550{\mathrm x}_2+100{\mathrm x}_3-24000=0%%

Um die Gleichung noch zu vereinfachen, kann man sie auf beide Seiten durch  %%50%%  dividieren.

%%\mathrm E:\;-10{\mathrm x}_1+11{\mathrm x}_2+2{\mathrm x}_3-480=0%%

 

Alternative Lösung:  Meistens ist es einfacher, zuerst den

Normalenvektor der Ebene zu vereinfachen

und dann erst das Skalarprodukt zu berechnen.

Klammere  %%50%%  im Normalenvektor aus und berechne dann das Skalarprodukt.

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-10\\11\\22\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0%%

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

%%\mathrm E:\;-10\cdot\left({\mathrm x}_1-40\right)+11\cdot\left({\mathrm x}_2-80\right)+2\cdot{\mathrm x}_3=0%%

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

%%\mathrm E:\;-10{\mathrm x}_1+400+11{\mathrm x}_2-880+2{\mathrm x}_3=0%%

Fasse zusammen.

%%\mathrm E:\;-10{\mathrm x}_1+11{\mathrm x}_2+2{\mathrm x}_3-480=0%%

Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Parameterform um.

%%\mathrm E:\;2{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+3{\mathrm x}_3-5=0%%

Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Löse die Ebenengleichung nach  %%{\mathrm x}_3%%  auf:

%%{\mathrm x}_3=-\frac23{\mathrm x}_1+\frac13{\mathrm x}_2+\frac53%%

Ersetze  %%{\mathrm x}_1%%  durch  %%\mathrm\lambda%%  und  %%{\mathrm x}_2%%  durch  %%\mathrm\mu%%  .

%%{\mathrm x}_3=-\frac23\mathrm\lambda+\frac13\mathrm\mu+\frac53%%

Schreibe  %%{\mathrm x}_1%%  ,  %%{\mathrm x}_2%%  und  %%{\mathrm x}_3%%  passend übereinander.

%%\begin{array}{l}{\mathrm x}_1\;=\;0\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2\;=\;0\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3=\frac53\;\;\;-\frac23\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+\frac13\cdot\mathrm\mu\end{array}%%

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac53\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-\frac23\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\\frac13\end{pmatrix}%%

Die beiden Richtungsvektoren können noch mit  %%3%%  multipliziert werden.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac53\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;-{\mathrm x}_1+2{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3=0%%

Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Löse die Ebenengleichung nach  %%{\mathrm x}_3%%  auf:

%%{\mathrm x}_3=\frac14{\mathrm x}_1-\frac12{\mathrm x}_2%%

Ersetze  %%{\mathrm x}_1%%  durch  %%\mathrm\lambda%%  und  %%{\mathrm x}_2%%  durch  %%\mathrm\mu%%  .

%%{\mathrm x}_3=\frac14\mathrm\lambda-\frac12\mathrm\mu%%

%%\begin{array}{l}{\mathrm x}_1\;=\;0\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2\;=\;0\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3\;=\;0\;\;\;+\frac14\cdot\mathrm\lambda\;\;\;-\frac12\cdot\mathrm\mu\end{array}%%

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\\frac14\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-\frac12\end{pmatrix}%%

Die beiden Richtungsvektoren können noch mit  %%4%%  bzw. %%2%%  multipliziert werden.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\textstyle0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;3{\mathrm x}_1+4{\mathrm x}_3-5=0%%

Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Löse die Ebenengleichung nach  %%{\mathrm x}_3%%  auf:

%%{\mathrm x}_3=-\frac34{\mathrm x}_1+\frac54%%

Ersetze  %%{\mathrm x}_1%%  durch  %%\mathrm\lambda%%  und setze  %%{\mathrm x}_2=\mathrm\mu%%  .

%%{\mathrm x}_3=-\frac34\mathrm\lambda+\frac54%%

Schreibe  %%{\mathrm x}_1%%  ,  %%{\mathrm x}_2%%  und  %%{\mathrm x}_3%%  passend übereinander.

%%\begin{array}{l}{\mathrm x}_1=\;\;0\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2=\;\;0\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3=\;\frac54\;\;\;-\frac34\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\end{array}%%

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac54\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-\frac34\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}%%

Die erste Richtungsvektor kann noch mit  %%4%%  multipliziert werden.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac54\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;2{\mathrm x}_1+3{\mathrm x}_2-1=0%%

Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Die Ebenengleichung kann nicht nach  %%{\mathrm x}_3%%  aufgelöst werden. Löse deshalb nach  %%{\mathrm x}_2%%  auf:

%%{\mathrm x}_2=-\frac23{\mathrm x}_1+\frac13%%

Ersetze  %%{\mathrm x}_1%%  durch %%\mathrm\lambda%%  und setze  %%{\mathrm x}_3=\mathrm\mu%%  .

%%{\mathrm x}_2=-\frac23\mathrm\lambda+\frac13%%

Schreibe  %%{\mathrm x}_1%%  ,  %%{\mathrm x}_2%%  und  %%{\mathrm x}_3%%  passend übereinander.

%%\begin{array}{l}{\mathrm x}_1\;=\;\;0\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2\;=\;\frac13\;\;\;-\frac23\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3\;=\;\;0\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\end{array}%%

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\\frac13\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-\frac23\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%%

Die erste Richtungsvektor kann noch mit  %%3%%  multipliziert werden.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\\frac13\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;2{\mathrm x}_2-3=0%%

Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Die Ebenengleichung kann nicht nach  %%{\mathrm x}_3%%  aufgelöst werden. Löse deshalb nach  %%{\mathrm x}_2%%  auf:

%%{\mathrm x}_2=\frac32%%

Setze  %%{\mathrm x}_1=\mathrm\lambda%%  und  %%{\mathrm x}_3=\mathrm\mu%%  und schreibe  %%{\mathrm x}_1%%  ,  %%{\mathrm x}_2%%  und  %%{\mathrm x}_3%%  passend übereinander.

%%\begin{array}{l}{\mathrm x}_1\;=\;\;0\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2\;=\;\frac32\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3\;=\;\;0\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\end{array}%%

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\\frac32\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%%

Kommentieren Kommentare