Aufgaben

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(3\;\left|\;0\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;3\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Zweidimensionalen)

 

7339_5IIR6QmR5l.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein:   %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\right|%%

     %%=\frac12\cdot\left|9\right|=4,5%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(2\;\left|\;3\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(3\;\left|\;0\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(1\;\left|\;4\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Zweidimensionalen)

 

7341_xqeDxZ15Bw.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}1&-1\\-3&1\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

     %%=\frac12\cdot\left|\left(1-3\right)\right|=\frac12\cdot\left|-2\right|=1%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-2\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(1\;\left|\;2\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-2\;\left|\;4\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Zweidimensionalen)

 

Geogebra File: /uploads/legacy/7357_DVUkP6vTt7.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}3&0\\3&5\end{pmatrix}\right|%%

     %%=\frac12\cdot\left|15\right|=7,5%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-5\;\left|\;-3\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-4\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-1\;\left|\;-5\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Zweidimensionalen)

 

Geogebra File: /uploads/legacy/7361_Wqg14aPaKk.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}1&4\\2&-2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

     %%=\frac12\cdot\left|-2-8\right|=\frac12\cdot\left|-10\right|=5%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(13\;\left|\;17\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(63\;\left|\;3\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(7\;\left|\;47\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Zweidimensionalen)

 

7353_g3EO5dNWIy.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}63\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}50\\-14\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}7\\47\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\30\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}50&-6\\-14&30\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

     %%=\frac12\cdot\left|\left(1500-84\right)\right|=\frac12\cdot\left|1416\right|=708%%

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks %%\,\triangle ABC%% mithilfe der Determinante

%%A(3|1)%%, %%B(0|2)%% und %%C(4|5)%%

Um den Flächeninhalt %%F%% bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%.

%%\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}0 - 3\\2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}4 - 3\\5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}%%

Skizze

Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt %%F%% gilt:

%%F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|%%

%%=\frac 1 2 \cdot \left|\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix} \right|%%

%%=\frac 1 2 \begin{vmatrix} 1& -3\\ 4& 1\end{vmatrix} =\frac 1 2 ( 1 \cdot 1 - (-3) \cdot 4) = 6,5%%

Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!

Für den Flächeninhalt des Dreiecks %%\,\triangle ABC%% gilt also %%F = 6,5%%

%%A(-4|-5)%%, %%B(-1|1)%% und %%C(3|-2)%%

Um den Flächeninhalt %%F%% bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%.

%%\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}-1 - (-4)\\1-(-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}3 - (-4)\\-2-(-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}%%

Skizze

Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt %%F%% gilt:

%%F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|%%

%%=\frac 1 2 \cdot \left|\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix} \right|%%

%%=\frac 1 2 \begin{vmatrix} 7& 3\\ 3& 6\end{vmatrix} =\frac 1 2 ( 7 \cdot 6 - 3 \cdot 3) = 16,5%%

Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!

Für den Flächeninhalt des Dreiecks %%\,\triangle ABC%% gilt also %%F = 16,5%%

%%A(4|4,5)%%, %%B(2,5|-\frac{2}{3})%% und %%C(-3,2|-2)%%

Um den Flächeninhalt %%F%% bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%.

%%\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}2,5 - 4\\ -\frac{2}{3} -4,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1,5\\-\frac{31}{6}\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}-3,2 - 4\\-2-4,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7,2\\-6,5\end{pmatrix}%%

Skizze

Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt %%F%% gilt:

%%F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|%%

%%\,\,\,\ =\frac 1 2 \cdot \left| \begin{pmatrix}-7,2\\-6,5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1,5\\-\frac{31}{6}\end{pmatrix} \right|%%

$$\,\,\,\,\,\,=\frac 1 2 \begin{vmatrix} -7,2& -1,5 \\ -6,5& -\frac{31}{6}\\ \end{vmatrix}$$

$$\,\,\,\,\,\,=\frac 1 2 \left[ (-7,2) \cdot \left(-\frac{31}{6}\right) - ( -1,5) \cdot (-6,5)\right]$$

$$\,\,\,\,\,\,= 13,725$$

Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!

Für den Flächeninhalt des Dreiecks %%\,\triangle ABC%% gilt also %%F = 13,725%%.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(4\;\left|\;1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(1\;\left|\;4\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(5\;\left|\;5\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7397_0rfoLpHRye.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}4&1\\1&4\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|16-1\right|=\left|15\right|=15%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-1\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(6\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-1\;\left|\;6\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(6\;\left|\;6\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7401_M31McEKHma.xml

  

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\7\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\left|7\cdot7\right|=\left|49\right|=49%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-7\;\left|\;-3\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-2\;\left|\;1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-5\;\left|\;4\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;6\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7403_96obS39cnN.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}5&2\\2&7\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|35-4\right|=\left|31\right|=31%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-4\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(2\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-1\;\left|\;1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(5\;\left|\;1\right.\right)%%  gegeben ist.


Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7405_TyS5SZvh8Z.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\\\end{array}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}6&3\\0&2\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\left|12\right|=12%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;-17\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(10\;\left|\;-3\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-12\;\left|\;-5\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(-2\;\left|\;9\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7407_a4uwMoE4qF.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}10\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\14\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-12\\-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\12\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}10&-12\\14&12\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrizen}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|120+168\right|=\left|288\right|=288%%

den Punkt  %%\mathrm A\left(-4\;\left|\;-6\right.\right)%%  und die Vektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}%%  aufgespannt wird.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7441_RAGjeiYZ4p.xml

 

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}-3&4\\5&2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|-6-20\right|=\left|-26\right|=26%%

den Punkt  %%\mathrm B\left(2\;\left|\;3\right.\right)%%  und die Vektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\begin{pmatrix}-4\\1\end{pmatrix}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}%%  aufgespannt wird.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7443_q42UOzBd1Y.xml

 

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}},\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}-4&4\\1&1\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|-4-4\right|=\left|-8\right|=8%%

Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms %%ABCD%%

%%A(-1|-1), B(1|2)%% und %%D(5|2)%%

Der Flächeninhalt %%F%% ist gegeben durch %%F = \left|\overrightarrow{AB} \,\overrightarrow{AC}\right|%%, du brauchst also erst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%% zu bestimmen.

Skizze

$$\overrightarrow{AB} = B - A$$ $$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AC} = C - A$$ $$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}$$

Nun setzst du ein! Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen dem Uhrzeigersinn ist.

%%F=\left| \overrightarrow{AC} \overrightarrow{AB}\right|= \begin{vmatrix}4&2\\-2&1\end{vmatrix}=4 \cdot 1-2 \cdot (-2) = 8%%

Also beträgt der Flächeninhalt des Parallelogramms %%ABCD%% genau %%F = 8%%.

%%A(-2|2) , B(3|3)%%und %%C(-1|1)%%

Der Flächeninhalt %%F%% ist gegeben durch %%F = \left|\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\right|%%, du bestimmst also zuerst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%.

Skizze

$$\overrightarrow{AB} = B - A$$ $$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AC} = C - A$$ $$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$

Nun setzen wir ein:

%%F=\left|\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AB}\right|=\begin{vmatrix}1&5\\-1&1\end{vmatrix}=1 \cdot 1-5 \cdot (-1) = 6%%

Also beträgt der Flächeninhalt des Parallelogramms %%ABCD%% genau %%F = 6%%.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(3\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;5\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Dreidimensionalen)

 

7383_b5pRO3QXGN.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

     %%=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}0\\0\\15\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den Betrag des Vektors .

     %%=\frac12\cdot\sqrt{0^2+0^2+15^2}%%

     %%=\frac12\cdot15=7,5%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(3\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(4\;\left|\;-1\;\left|\;-1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Dreidimensionalen)

 

7387_f99nZNixvq.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

     %%=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den  Betrag des Vektors .

     %%=\frac12\cdot\sqrt{\left(-2\right)^2+1^2+\left(-2\right)^2}%%

     %%=\frac12\cdot\sqrt{4+1+4}%%

     %%=\frac12\cdot\sqrt9=\frac32=1,5%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(5\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(3\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(5\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Dreidimensionalen)

 

7391_X47kfp9FSc.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

     %%=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}8\\-4\\-8\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den Betrag des Vektors .

     %%=\frac12\cdot\sqrt{8^2+\left(-4\right)^2+\left(-8\right)^2}%%

     %%=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}%%

     %%=\frac12\cdot\sqrt{144}=\frac{12}2=6%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(11\;\left|\;9\;\left|\;7\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(4\;\left|\;6\;\left|\;11\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(8\;\left|\;9\;\left|\;10\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Dreidimensionalen)

 

7395_8ZfuziCVmZ.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\6\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\9\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-3\\4\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}8\\9\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\9\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-7\\-3\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

      %%=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-9\\9\\-9\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den Betrag des Vektors .

     %%=\frac12\cdot\sqrt{\left(-9\right)^2+9^2+\left(-9\right)^2}%%

      %%=\frac12\cdot\sqrt{3\cdot9^2}%%

     %%=\frac92\sqrt3%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(2\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-3\;\left|\;1\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(4\;\left|\;-4\;\left|\;4\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Dreiecks

(im Dreidimensionalen)

 

7381_CLLXq0k74x.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\4\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-9\\5\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-5\\-4\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-9\\5\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

     %%=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}16\\33\\53\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den  Betrag des Vektors .

     %%=\frac12\cdot\sqrt{16^2+33^2+53^2}%%

     %%=\frac12\cdot\sqrt{256+1089+2809}%%

     %%=\frac12\cdot\sqrt{4154}=\sqrt{\frac{2077}2}%%

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(0\;\left|\;6\;\left|\;2\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;2\;\left|\;6\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;8\;\left|\;8\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Dreidimensionalen)

 

7445_EJ29KwFxTe.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:   %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

   %%=\left|\begin{pmatrix}32\\0\\0\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den  Betrag des Vektors .

   %%=\sqrt{32^2+0^2+0^2}%%

   %%=32%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(4\;\left|\;-3\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(5\;\left|\;-1\;\left|\;5\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(2\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Dreidimensionalen)

 

7473_2GuBDHM3zK.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\-3\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\-1\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:   %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}-3\\0\\-3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

   %%=\left|\begin{pmatrix}-6\\-3\\6\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den  Betrag des Vektors .

   %%=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-3\right)^2+6^2}%%

   %%=\sqrt{36+9+36}%%

   %%=\sqrt{81}=9%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(2\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(0\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(2\;\left|\;2\;\left|\;4\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;4\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Dreidimensionalen)

 

7461_XX0A21qSnD.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:   %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

   %%=\left|\begin{pmatrix}7\\4\\-6\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den  Betrag des Vektors .

   %%=\sqrt{7^2+4^2+\left(-6\right)^2}%%

   %%=\sqrt{49+16+36}%%

   %%=\sqrt{101}%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-4\;\left|\;-2\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-1\;\left|\;2\;\left|\;6\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-6\;\left|\;-3\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(-3\;\left|\;1\;\left|\;8\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Dreidimensionalen)

 

7479_XVmlk2Dnwe.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-6\\-3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:   %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

   %%=\left|\begin{pmatrix}13\\-16\\5\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\sqrt{13^2+\left(-16\right)^2+5^2}%%

   %%=\sqrt{169+256+25}%%

   %%=\sqrt{450}=15\sqrt2%%

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks %%\triangle ABC%% mit %%A(1|2)%%, %%B(-1|2)%% und %%C(x|\sin(x))%% in Abhängigkeit von %%x%%.

Berechnung des Flächeninhalts mit Determinante

Stelle zuerst zwei Vektoren auf.

%%\vec v = \overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\0}%%

%%\vec w = \overrightarrow{AC} = \pmatrix{x-1\\\sin(x)-2}%%

Gegen den Uhrzeigersinn betrachtet kommt %%\vec v%% vor %%\vec w%%, also schreibst du zuerst %%\vec v%%, dann %%\vec w%% in die Formel.

$$F(x) = \frac12 |\vec v \vec w| = \frac12 \begin{vmatrix}-2&x-1\\0&\sin(x)-2\end{vmatrix} = \frac12 \left( -2\cdot(\sin(x)-2)-(x-1)\cdot 0 \right) = 2-\sin(x)$$

Das Ausrechnen der Determinante liefert also:

Der Flächeninhalt beträgt also %%F(x) = 2 - \sin(x)%%.

Die Punkte sind gegeben durch %%A(-3|4)%% und %%B(0|1)%%, %%\,C%% bewegt sich dabei auf der Funktion %%\ln(x-3)%% in Abhängigkeit von %%x%%.

Bestimme zuerst den Definitionsbereich von %%x%% und dann den Flächeninhalt des Dreiecks %%\Delta ABC%%.

Berechnung des Flächeninhalts mit Determinante

Zunächst bestimmst du den Definitionsbereich von %%x%%.

Betrachte hierfür %%\ln(x-3)%%. Der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen sowie für null nicht definiert. Für das Argument des Logarithmus muss also gelten:

%%x - 3 > 0 \,\, \Longleftrightarrow\,\, x>3%%

Damit ist der Definitionsbereich %%D =\, ]\,3, \infty\,[%%.

Nun zum Flächeninhalt:

Stelle zuerst zwei Vektoren auf.

%%\vec v = \overrightarrow{AB} = B - A = \pmatrix{3\\-3}%%

%%\vec w = \overrightarrow{AC} = C - A = \pmatrix{x+3\\\ln(x-3)-4}%%

Gegen den Uhrzeigersinn betrachtet kommt %%\vec v%% vor %%\vec w%%, also schreibst du zuerst %%\vec v%%, dann %%\vec w%% in die Formel.

$$F(x) = \frac12 |\vec v \vec w| = \frac12 \begin{vmatrix}3&x+3\\-3&\ln(x-3)-4\end{vmatrix} = \frac12 \left( 3\cdot(\ln(x-3)-4)-(x+3)\cdot (-3) \right) = 1,5\ln(x-3)+1,5x - 1,5$$

Nach Ausrechnen der Determinante bekommst du für den Flächeninhalt also:

%%F(x) = 1,5\ln(x-3) + 1,5x - 1,5%%

Unten kannst du, in dem du den Punkt %%C%% entlang der Funktion %%\,\ln(x-3)\,%% bewegst, den Flächeninhalt des Dreiecks %%\Delta ABC%% verändern.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks %%\triangle ABC%%, wobei %%A(-4|-1,5)%% und %%B(-1|6)%% Punkte sind und der Punkt %%C%% sich auf der Funktion %%\,y(x) = x^3 - x +1%% in Abhängigkeit von %%x%% bewegt.

Berechnung des Flächeninhalts mit Determinante

Stelle zuerst zwei Vektoren auf.

%%\vec v = \overrightarrow{AB} = B - A = \pmatrix{3\\7,5}%%

%%\vec w = \overrightarrow{AC} = C - A = \pmatrix{x+4\\x^3-x+2,5}%%

Gegen den Uhrzeigersinn betrachtet kommt %%\vec v%% vor %%\vec w%%, also schreibst du zuerst %%\vec v%%, dann %%\vec w%% in die Formel.

$$F(x)= \frac12 |\vec v \, \vec w| = \frac12 \begin{vmatrix}3&x+4\\7,5&x^3 - x + 2,5\end{vmatrix} = \frac12 \left( 3\cdot(x^3 - x + 2,5)-(x+4)\cdot 7,5 \right) = 1,5x^3 - 5,25 - 11,25$$

Das Ausrechnen der Determinante liefert also:

Der Flächeninhalt des Dreiecks %%\triangle ABC%% beträgt %%\,F(x) = 1,5x^3 - 5,25 - 11,25%%.

Berechne die Fläche des Parallelogramms, das von den angegebenen Punkten aufgespannt wird.

A(1|1,5); B(4|-1); C(5|2,5)

Dreiecksfläche berechnen

A(1|1,5); B(4|-1); C(5|2,5)

Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Es ist nicht nötig, das Parallelogramm aus den angegeben Punkt zu konstruieren, da es nur zwei Vektoren benötigt, um die Fläche zu berechnen. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Parallelogramm aufspannen, und berechne diese Vektoren.

Auch hier ist es egal, welche Ecke man wählt, da die Parallelogrammfläche stets das Doppelte der gewählten Dreiecksfläche ist. Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7169_NqiBxCTiI3.xml

%%\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}1-4\\1,5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\2,5\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}5-4\\2,5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3,5\end{pmatrix}%%

1.Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( %%\mathrm\alpha%% ) oder setze um die Determinante einen Betrag.

Wichitg: KEIN %%\frac12%%!

Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.

%%\mathrm A=\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{BA}}&\overrightarrow{\mathrm{BC}}\end{vmatrix}\right|=\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{BC}}&\overrightarrow{\mathrm{BA}}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-3\\3,5&2,5\end{vmatrix}=2,5+10,5=13\;FE%%

2.Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den %%\mathbb{R}^3%% ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag %%0%% hinzugefügt wird.

Berechne nun das Kreuzprodukt %%\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}%%. Das Ergebnis ist ein zu %%\overrightarrow{BA}%% und %%\overrightarrow{BC}%% orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von %%\overrightarrow{BA}%% und %%\overrightarrow{BC}%% aufgespannten Parallelogramms entspricht.

$$A=\left|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix}-3\\2,5\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\3,5\\0\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\0\\-13\end{pmatrix}\right|=13\;FE$$

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