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Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

1 Aufgabengruppe

Multipliziere den Vektor mit dem Skalar.

5(35)\displaystyle 5\cdot\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}
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Vektoren mit einem Skalar multiplizieren

5(35)\displaystyle 5\cdot\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

Multipliziere komponentenweise.

=(5355)=(1525)\displaystyle =\begin{pmatrix}5\cdot3\\5\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\25\end{pmatrix}
1(31)\displaystyle -1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
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Vektoren mit einem Skalar multiplizieren

1(31)\displaystyle -1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}

Multipliziere komponentenweise.

=(1311)=(31)\displaystyle =\begin{pmatrix}-1\cdot3\\-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}
79(2722,5)\displaystyle \displaystyle\frac{7}9\cdot\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix}
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Vektoren mit einem Skalar multiplizieren

79(2722,5)\displaystyle \displaystyle\frac79\cdot\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix}

Multipliziere komponentenweise.

=(79277922,5)=(2117,5)\displaystyle =\displaystyle\begin{pmatrix}\frac79\cdot27\\\frac79\cdot22,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\17,5\end{pmatrix}
2 Aufgabengruppe

Berechne den Lösungsvektor.

(11)+2(12)+(06)\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
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Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren

(11)+2(12)+(06)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}

Multipliezire zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.

=(11)+(212(2))+(06)\displaystyle =\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-2)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}

Addiere die Vektoren komponentenweise.

=(1+21+01+2(2)+6)=(33)\displaystyle =\begin{pmatrix}1+2\cdot1+0\\1+2\cdot(-2)+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}
4(02)+(60)(03)\displaystyle 4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}
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Vektoren addieren, subtrahieren und mit einem skalar multiplizieren

4(02)+(60)(03)\displaystyle 4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\

Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.

=(08)+(60)(03)\displaystyle =\begin{pmatrix}0\\-8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

=(0+608+03)=(611)\displaystyle =\begin{pmatrix}0+6-0\\-8+0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}
5(33)3(92)+4(32,25)\displaystyle 5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}
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Vektoren addieren, subtrahieren und mit einem Skalar multiplizieren

5(33)3(92)+4(32,25)\displaystyle 5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}

Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.

=(5(3)53)(3(9)32)+(4(3)4(2,25))\displaystyle =\begin{pmatrix}5\cdot(-3)\\5\cdot3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\cdot(-3)\\4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}

Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.

=(5(3)3(9)+4(3)5332+4(2,25))=(00)\displaystyle =\begin{pmatrix}5\cdot(-3)-3\cdot(-9)+4\cdot(-3)\\5\cdot3-3\cdot2+4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
3 Aufgabengruppe

Berechne den Lösungsvektor.

3(110)+(123)(062)\displaystyle \displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}
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Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert.

3(110)+(123)(062)\displaystyle \displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}

Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.

=(313(1)30)+(123)(062)\displaystyle =\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot1\\3\cdot(-1)\\3\cdot0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

=(31+1+03(1)2630+32)\displaystyle =\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot1+1+0\\3\cdot(-1)-2-6\\3\cdot0+3-2\end{pmatrix}

Rechne jede Komponente aus.

=(3+132632)=(4111)\displaystyle =\displaystyle \begin{pmatrix}3+1\\-3-2-6\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-11\\1\end{pmatrix}

(313)3(092)+2(131,5)\displaystyle \begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}0\\-9\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-1,5\end{pmatrix}
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Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert.

(313)3(092)+2(131,5)\displaystyle \begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}0\\-9\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-1,5\end{pmatrix}

Multipliziere zuerst die Vektoren komponentenweise mit dem jeweiligen Skalar.

=(313)(303(9)32)+(212(3)2(1,5))\displaystyle =\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot0\\3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-3)\\2\cdot(-1,5)\end{pmatrix}

Berechne die Produkte.

=(313)(0276)+(263)\displaystyle =\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-27\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-6\\-3\end{pmatrix}

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

=(30+21(27)+(6)36+(3))\displaystyle =\begin{pmatrix}-3-0+2\\1-(-27)+(-6)\\3-6+(-3)\end{pmatrix}

Rechne jede Komponente aus.

=(1226)\displaystyle =\begin{pmatrix}-1\\22\\-6\end{pmatrix}

4

Gegeben seien die Punkte A(40)A(-4|0), B(21)B(2|-1) und C(52)C(5|2). Vervollständige zu einem Parallelogramm und berechne die Lage des Schnittpunktes seiner Diagonalen.

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Bestimme zuerst a=AB\vec a = \overrightarrow{AB} und b=BC\vec b = \overrightarrow{BC}.

a=\pmatrix2(4)10=\pmatrix61\displaystyle \vec a = \pmatrix{2-(-4)\\-1-0} = \pmatrix{6\\-1}

b=\pmatrix522(1)=\pmatrix33\displaystyle \vec b = \pmatrix{5-2\\2-(-1)} = \pmatrix{3\\3}

Da ABCDABCD ein Parallelogramm ist, gilt außerdem AB=DC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} und BC=AD\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.

5 Aufgabengruppe

Gegeben sind die Vektoren a=(12)\vec a=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix} , b=(34,5)\vec b=\begin{pmatrix}3\\4{,}5 \end{pmatrix} und c=(50)\vec c=\begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix}. Berechne jeweils den Vektor, der sich durch die angegebene Vektorkette ergibt!

d=7a+2b25c\displaystyle \vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren

d=7a+2b25c=7(12)+2(34,5)25(50)=\displaystyle \vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c=7\cdot\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix} +2\cdot\begin{pmatrix} 3\\4{,}5\end{pmatrix} -\frac{2}{5}\cdot\begin{pmatrix} 5\\0\end{pmatrix}=
=(7(1)72)+(2324,5)(255250)=(7+6214+90)=(323)\displaystyle =\begin{pmatrix}7\cdot(-1)\\7\cdot2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\cdot3\\2\cdot4{,}5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} \dfrac{2}{5}\cdot5\\\dfrac{2}{5}\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -7+6-2\\14+9-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\23 \end{pmatrix}
e=23b4a\displaystyle \vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren

e=23b4a=23(34,5)4(12)=\displaystyle \vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a=\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix} 3\\4,5\end{pmatrix}-4\cdot\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}=
=(233234,5)(4(1)42)=(2(4)38)=(65)\displaystyle =\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\cdot3\\\dfrac{2}{3}\cdot4,5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\cdot(-1)\\4\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-(-4)\\3-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-5 \end{pmatrix}
6 Aufgabengruppe

Sind die folgenden Vektoren parallel zueinander? Begründe.

%%\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \vec{w}=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}%%

Klicke auf eine der Optionen

%%\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}%%

Klicke auf eine der Optionen

%%\vec{q=}\begin{pmatrix}0,5\\7\end{pmatrix}, \vec{p}= \begin{pmatrix}3,5\\49\end{pmatrix}%%

Klicke auf eine der Optionen

%%\vec{x} =\begin{pmatrix}2.1\\0\\1,5\end{pmatrix}, \vec{y}=\begin{pmatrix}2.1\\0\\1,5\end{pmatrix}%%

Klicke auf eine der Optionen

%%\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\r\\2\end{pmatrix},\vec{g}=\begin{pmatrix}1/3\\4\\-4\end{pmatrix}%%

Vorsicht: Bei dieser Aufgabe können mehrere Antworten richtig sein.

Stimmt's?
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Tipp: Vergiss erstmal die zweite Koordinate, wo der Parameter rr vorkommt und vergleiche die anderen Koordinaten der Vektoren f\vec{f} und g\vec{g}.

Schritt 1: Mögliche Kandidaten für kk finden

Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.

f=(1/6r2),g=(1/344)\vec{f} = \begin{pmatrix}\mathbf{-1/6}\\r\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} \mathbf{1/3}\\4\\-4\end{pmatrix}

Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für kk zu finden.

16:13=12\displaystyle -\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}

k=12k= -\frac{1}{2} ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um f=kg\vec{f} = k\cdot \vec{g} zu schreiben.

Beachte: Bis jetzt gilt dieses k=12k=-\frac12 nur für die erste Koordinate (Komponente).

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete kk die Gleichung f=kg\vec{f} = k\cdot\vec{g} löst

Multipliziere dafür k=12k= -\frac{1}{2} mit g\vec{g} um nachzuprüfen, ob tatsächlich f\vec{f} rauskommt.

%%\begin{array}{lcr}k\cdot \vec{g} &=& -\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix} & = &\begin{pmatrix}-1/6\\-2\\2 \end{pmatrix}\\\end{array}%%

%%\begin{array}{lcr}\vec{f} &= &\begin{pmatrix}-1/6\\r\\2 \end{pmatrix}\end{array}%%

Die Vektoren kgk\cdot\vec{g} und f\vec{f} sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch.

Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von rr finden, für die f\vec{f} und g\vec{g} parallel sind.

%%\begin{align} &\begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{r}\\2 \end{pmatrix}& &\stackrel{!}{=}& &\begin{pmatrix} -1/6\\\mathbf{-2}\\2\end{pmatrix}\end{align}%%

Diese Gleichheit ist nur für r=2r = -2 erfüllt. Nur dann gilt also f=kg.\vec{f} = k\cdot \vec{g}.

\Rightarrow Für r=2r = -2 sind f\vec{f} und g\vec{g} parallel.

Bemerkung zum Parameter rr

Für alle anderen Werte von rr können die Vektoren f\vec{f} und g\vec{g} nicht parallel sein.

Beispiel: Wenn du für rr Null einsetzt erhältst du die Vektoren

f=(1/602),g=(1/344)\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\0\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix}

Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:

f=(1/602),g=(1/344)\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{0}\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\ \mathbf{4}\\-4\end{pmatrix}

Es gilt 0=040 = 0\cdot 4.

Damit also f=kg\vec{f} = k\cdot \vec{g} überhaupt gelten kann müsste also k=0k=0 sein. Dann wäre aber $$k\cdot \vec{g} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\ 4\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$ und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich f\vec{f}.

\Rightarrow Für manche Werte von rr sind f\vec{f} und g\vec{g} nicht parallel.

Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von rr sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von rr sind sie nicht parallel.