Aufgaben

Gegeben sind die Vektoren %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%, %%\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}%% und %%\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}%%. Berechne jeweils den angegebenen Vektor und veranschauliche in den Teilaufgaben a) bis c) durch eine Zeichnung!

$$\vec d = \vec a + \vec b$$

Addition von Vektoren

geg.: %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%, %%\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}%%

ges.: %%\vec d = \vec a + \vec b%%

Addiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten addierst!

$$\vec d = \vec a + \vec b = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} =$$ $$=\begin{pmatrix}2+(-5)\\-2+(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\-5\end{pmatrix}$$

Grafische Veranschaulichung

Addition der Vektoren

$$\vec e = \vec a - \vec b$$

Subtraktion von Vektoren

geg.: %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%, %%\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}%%

ges.: %%\vec e = \vec a - \vec b%%

Subtrahiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten subtrahierst!

$$\vec e = \vec a - \vec b = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} =$$ $$=\begin{pmatrix}2-(-5)\\-2-(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}$$

Grafische Veranschaulichung

Subtraktion von Vektoren

$$\vec f = -2\cdot\vec a$$

Skalarmultiplikation von Vektoren

geg.: %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%

ges.: %%\vec f = -2\cdot\vec a%%

Multipliziere den Vektor mit %%-2%%, indem du seine Koordinaten mit %%-2%% multiplizierst!

$$\vec f = -2\cdot\vec a = -2\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} =$$ $$=\begin{pmatrix}-2\cdot2\\-2\cdot(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$$

Grafische Veranschaulichung

Skalarmultiplikation

$$\vec g = \vec a - 4\vec b + \frac{2}{3}\vec c$$

Vektorkette

geg.: %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%, %%\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}%%, %%\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}%%

ges.: %%\vec g = \vec a - 4\vec b + \frac{2}{3}\vec c%%

Um die Vektorkette zu berechnen, setze zunächst die Koordinaten der Vektoren ein!

%%\vec g = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - 4\cdot\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} + \frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}%%

Führe nun die Rechenoperationen komponentenweise durch und vereinfache anschließend!

$$\vec g = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\cdot(-5)\\4\cdot(-3)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{2}{3}\cdot3\\\frac{2}{3}\cdot9\end{pmatrix} =$$ $$= \begin{pmatrix}2-(-20)+2\\-2-(-12)+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\16\end{pmatrix}$$

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