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Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Lerne mit diesen Übungsaufgaben die Lagebeziehung von Geraden und Ebenen zu untersuchen. Schaffst du sie alle?

  1. 1

    Bestimme jeweils die Schnittmenge von Ebene und Gerade.

    1. E1:  x1+x2−2⋅x3=−3{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=-3   und   g:  X→=(349)+r⋅(113)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}3\\4\\9\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}

    2. E1:  x1−x2+2⋅x3=−8{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3=-8   und   g:  X→=(002)+r⋅(12−1)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}

    3. E1:  x1+x2−2⋅x3=2{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=2   und   g:  X→=(132)+r⋅(423)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}

    4. E1:  x1+x2−2⋅x3=0{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=0   und   g:  X→=(132)+r⋅(423)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}

    5. E:  (13−1)∘[x→−(110)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0   und   g:  x→=(211)+r⋅(1−1−2)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}

    6. E:  (1−1−3)∘[x→−(0−1−1)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0   und   g:  x→=(31−1)+r⋅(1−21)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}

    7. E:  (2−31)∘[x→−(101)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0   und   g:  x→=(−121)+r⋅(2−1−2)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}

    8. E:  (12−1)∘x→−3=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-3=0   und   g:  x→=(01−1)+r⋅(3−2−1)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}

    9. E:  (31−1)∘x→+6=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6=0   und   g:  x→=(−9−420)+r⋅(40−6)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}

    10. E:  x1−3⋅x2+2⋅x3−1=0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-3\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-1=0   und   g:  x→=(211)+r⋅(−112)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}

    11. E:  x1+x2+2⋅x3−11=0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11=0   und   g:  x→=(132)+r⋅(210)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}

  2. 2

    Gegeben sind im  R3\mathbb{R}^3  die Ebene   E:  x1−k⋅x2+2⋅x3−4=0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-\mathrm k\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-4=0  mit  k≠0\mathrm k\neq0  und die Gerade  g:  X→=(123)+r⋅(321)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} .

    Bestimme k so, dass g parallel zu E verläuft. Liegt dann die Gerade g in der Ebene E?

  3. 3

    Gegeben sind im  R3\mathbb{R}^3  die Ebene  E:  x1−3⋅x2+2⋅x3−a=0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-3\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-\mathrm a=0   ( a∈R\mathrm a\in\mathbb{R} ) und die Gerade  g:  X→=(102)+r⋅(k1−2)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\mathrm k\\1\\-2\end{pmatrix}  mit  k∈R\mathrm k\in\mathbb{R} .

    1. Bestimme für  a=4\mathrm a=4  den Parameter k so, dass g parallel zu E verläuft. Begründe, dass dann g und E keinen Punkt gemeinsam haben.

    2. Es gelte  k=7\mathrm k=7 , also verläuft g parallel zu E. Bestimme Parameter a so, dass g in E liegt.

  4. 4

    Gegeben ist im  R3\mathbb{R}^3  die Ebene  E:  2⋅x1−x3−3=0\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3-3=0.

    1. Gib eine Gerade gg an, die ganz in EE liegt.

    2. Gib zwei von E verschiedene Ebenen  F1{\mathrm F}_1  und  F2{\mathrm F}_2  an, die ebenfalls g enthalten.

    3. Gib eine Gerade kk so an, dass k k in  F1{\mathrm F}_1  liegt und EE nicht schneidet.

  5. 5

    Gegeben sind eine Gerade gg und eine Ebene EE mit:

    g:  X→=(−500)+r⋅(6−41)g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}und E:  X→=(150)+s⋅(03−1)+t⋅(62−1)E:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\- 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

    Untersuche die Lage der Geraden gg bezüglich der Ebene EE.


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