Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen

1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

Gegeben sind die beiden Ebenen: 
E1:      5x1+2x2+3x3=30undE2:10x1+7x212x3=45\displaystyle \begin{array}{cccccccl} E_1:\;\;\;5x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3& = & 30 & \text{und}\\ E_2: 10x_1 & + &7 x_2 & - &12 x_3& =& 45 \end{array}
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
(I):      5x1+2x2+3x3=30und(II):10x1+7x212x3=45\displaystyle \begin{array}{cccccccl} \mathrm{(I)}:\;\;\;5x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3& = & 30 & \text{und}\\ \mathrm{(II)}: 10x_1 & + &7 x_2 & - &12 x_3& =& 45 \end{array}

1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.

(I)(2)+(II)     (I)      3x218x3=15\displaystyle \mathrm{(I)}\cdot (-2)+\mathrm{(II)}\Rightarrow\;\;\ \mathrm{(I')}\;\;\;3x_2-18x_3=-15

2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

Wird Gleichung (I)\mathrm{(I')} nach x2x_2 aufgelöst, erhältst Du Gleichung (II)\mathrm{(II')}:
(II)      x2=5+6x3\displaystyle \mathrm{(II')}\;\;\;x_2=-5+6x_3
Setze nun Gleichung (II)\mathrm{(II')} z. B. in Gleichung (I)\mathrm{(I)} ein und löse nach x1x_1 auf:
5x1+2(5+6x3)+3x3=30              x1=83x3\displaystyle 5x_1+2\cdot(-5+6x_3)+3x_3=30\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;x_1=8-3x_3
Du hast nun x1x_1und x2x_2 in Abhängigkeit von x3x_3 dargestellt. Für x3x_3 kannst Du z. B. den Parameter tt setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
L={(83t5+6tt) tR}\displaystyle \mathbb{L}=\{(8-3t\vert -5+6t\vert t)\vert \ t\in \mathbb R \}
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
g:    x=(83t5+6tt)=(850)+t(361)\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}8-3t\\-5+6t\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\-5\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-3\\6\\1\end{pmatrix}
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1E_1 und E2E_2 hat die Gleichung:

g:    x=(850)+t(361)\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}8\\-5\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-3\\6\\1\end{pmatrix}
Ebene E_1, E_2 und Gerade