g:  x  =  (121)  +s(213)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}    und         h:  x  =(122)+t(225)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden

Lineare Unabhängigkeit

g:  x  =  (121)  +s(213)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} h:  x  =(122)+t(225)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
(213)=λ(225)\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ\lambda.
  2=2λ1=2λ3=5λ            λ=1λ=0,5λ=0,6\;\left|\begin{array}{c}2=2\lambda\\1=2\lambda\\-3=-5\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=1\\\lambda=0,5\\\lambda=0,6\end{array}\right.
Da alle λ\lambda unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
  \Rightarrow\; linear unabhängig
  \Rightarrow\; Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.

Gleichungssystem lösen

(121)+s(213)=(122)+t(225)\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
1+2s=1+2t  2+s=2+2t  13s=25t  1      :2  +2  1\left|\begin{array}{c}1+2s=-1+2t\;\\-2+s=-2+2t\;\\1-3s=2-5t\end{array}\begin{array}{l}\left|\left|\;-1\;\;\;\mid:2\right.\right.\\\left|\left|\;+2\right.\right.\\\left|\left|\;-1\right.\right.\end{array}\right.
Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.
s=1+ts=2t3s=15t\left|\begin{array}{l}s=-1+t\\s=2t\\-3s=1-5t\end{array}\right.
Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert t.
Diesen Wert setzt man dann in die zweite Gleichung ein und erhält s.
2t=1+t      tt=1s=2\begin{array}{l}2t=-1+t\;\;\;\left|\left|-t\right.\right.\\t=-1\\s=-2\end{array}
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
13s  =  25t13(2)  =  25(1)7  =  7\begin{array}{c}1-3s\;=\;2-5t\\1-3\cdot(-2)\;=\;2-5\cdot(-1)\\7\;=\;7\end{array}
Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
Diesen ermittelt man, indem man eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt.
g:  x  =  (121)  +s(213)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}
   S=  (121)  +(2)(213)\Rightarrow\;S=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+(-2)\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}
=(121)+(426)  =  (347)=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix}-3\\-4\\7\end{pmatrix}
Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.