Aufgaben

Berechne die Länge bzw. den Betrag des Vektors.

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0.2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0.2\end{pmatrix}%%

Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.

%%\displaystyle\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{4^2+\left(-{\frac23}\right)^2+0.2^2}=\sqrt{16+{\frac49}+0.04}\approx4,06%%

Berechne die Länge des Vektors:

%%\vec v = \pmatrix{3\\-2}%%

%%\vec v = \pmatrix{3\\-2}%%

Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.

%%\begin{align} |\vec v| = \left| \pmatrix{3\\-2} \right|& = \sqrt{3^2+(-2)^2} \\&= \sqrt{13} \approx 3,6\end{align}%%

Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.

%%\vec v = \pmatrix{-5\\5}%%

%%\vec v = \pmatrix{-5\\5}%%

Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.

%%\begin{align}|\vec v| = \left| \pmatrix{-5\\5} \right| &= \sqrt{(-5)^2+5^2}\\ &= \sqrt {50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt 2\end{align}%%

Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.

Lässt sich der Vektor %%\vec{w}%% durch eine Streckung des Vektors %%\vec{v}%% erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor %%k%%, um den %%\vec{v}%% gestreckt wurde.

%%\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix}%%

Vektoren strecken

Prüfe, ob die Formel %%w⃗ =k⋅ v⃗%% für ein k erfüllt werden kann.

%%\begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} \\%%

%%\,%%

Prüfe nun für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.

Für die x-Kompenente soll gelten:

%%-6 = k \cdot 2 \\ k=-6: 2 =-3%%

Für die y-Komponente soll gelten:

%%-15 = k \cdot 5 \\ k=-15:5=-3%%

Löse die beiden Gleichungen nach %%k%% auf.

%%\Rightarrow\,k = -3%%

Für beide Gleichungen kommt dasselbe Ergebnis heraus.

Das heißt, dass der Vektor %%\vec w%% aus %%\vec v%% durch Streckung um %%-3%% entsteht.

%%\vec v = \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix}%%

Vektoren strecken

Prüfe, ob die Formel %%\,\vec w = k \cdot \vec v \ \\%% für ein %%k%% erfüllt werden kann.

%%\begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix} \\%%

Prüfe für jede Komponente des Vektors, ob diese Gleichung erfüllt werden kann:

Für die x-Komponente soll gelten:

%%1 = k \cdot (-5) \\k=-\frac15%%

Für die y-Komponente soll gelten:

%%-7 = k \cdot 31\\ k=-\frac{7}{31}%%

Löse die Gleichungen jeweils nach %%k%% auf.

%%\Rightarrow-\frac1 5 ≠ -\frac{7}{31}%%

Du erhältst für %%k%% zwei verschiedene Werte.

Der Vektor %%\vec{w}%% kann also nicht durch eine Streckung der Vektors %%\vec v%% um eine reelle Zahl %%k%% erzeugt werden.

Die Vektoren %%\vec{v}%% und %%\vec{w}%% zeigen somit weder in die gleiche noch in die entgegengesetzte Richtung.

%%\vec v = \begin{pmatrix}0\\6,75\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix}%%

Vektoren strecken

Prüfe, ob die Formel %%\,\vec w = k \cdot \vec v \,\,%% für ein k erfüllt werden kann.

%%\begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}0\\6,75\end{pmatrix} \\%%

Prüfe für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.

Für die x-Kompenente soll gelten:

%%0 = k \cdot 0%%

%%\,%%

Diese Gleichung ist für alle reellen Zahlen erfüllt.

Für die y-Komponente soll gelten:

%%-576 = k \cdot 6,75%%

%%\,%%

Löse die Gleichung nach k auf.

$$k = -\frac{256}{3}$$

Da die erste Gleichung für beliebige reelle Zahlen erfüllt ist, gilt sie insbesondere auch für %%k= -\frac{256}{3}%%. Dies ist also der gesuchte Streckungsfaktor.

%%\Rightarrow%% Das heißt, dass der Vektor %%\vec w%% aus %%\vec v%% durch Streckung um %%k = -\frac{256}{3}%% entsteht.

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