Aufgaben

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

%%\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}%%  und  %%\vec v=\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}%% .

Skalarprodukt berechnen

Du sollst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Du erhältst durch Verwendung der Formel:

%%\vec u\odot\vec v =\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix} =2\cdot6+(-1)\cdot7+5\cdot2=15%%

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist also %%15%%.

%%\vec u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}%%  und  %%\vec v=\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}%% .

Skalarprodukt berechnen

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

%%\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}=12\cdot6+3\cdot0+4\cdot(-8)= 72-32=40%%

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist also %%40%%.

%%\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}%%  und  %%\vec v=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}%% .

Skalarprodukt berechnen

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

%%\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-1)+3\cdot1+1\cdot(-2)=2+3-2=3%%

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist also %%3%%.

%%\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}%%  und  %%\vec v=\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}%% .

Skalarprodukt berechnen

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

%%\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}=1\cdot\left(-3\right)+\left(-2\right)\cdot3+\left(-4\right)\cdot\left(-1\right)=-3-6+4=-5%%

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist also %%-5%%.

%%\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}%%  und  %%\vec v=\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}%% .

Skalarprodukt berechnen

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

%%\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}=3\cdot8+\left(-4\right)\cdot1+0\cdot12=24-4=20%%

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist also %%20%%.

%%\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}%%  und  %%\vec v=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}%% .

Skalarprodukt berechnen

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

%%\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}=1\cdot0+0\cdot0+\left(-1\right)\cdot\left(-3\right)=3%%

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist also %%3%%.

%%\vec u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}%%  und  %%\vec v=\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}%% .

Skalarprodukt berechnen

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

%%\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}=5\cdot2+1\cdot8+9\cdot\left(-2\right)=10+8-18=0%%

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist also %%0%%. Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

%%\vec u=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}%%  und  %%\vec v=\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}%% .

Skalarprodukt berechnen

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

%%\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}=\left(-5\right)\cdot2+3\cdot8+9\cdot\left(-1\right)=-10+24-9=5%%

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist also %%5%%.

%%\vec u=\begin{pmatrix}0,25\\3\\5\end{pmatrix}%%  und  %%\vec v=\begin{pmatrix}4\\-\dfrac23\\0,2\end{pmatrix}%% .

Skalarprodukt berechnen

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

%%\vec u\odot\vec v =\begin{pmatrix}0,25\\3\\5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}4\\-\dfrac23\\0,2\end{pmatrix} = 0,25\cdot4+3\cdot\left(-\dfrac23\right)+5\cdot0,2 =1-2+1 =0%%

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist also %%0%%. Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.

%%\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor %%\vec{u}%% einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor %%\vec v%%, sodass das Skalarprodukt zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% %%0%% ist.

Es lässt sich %%v_1=0%% annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

%%0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\5 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 2\cdot 0+ (-1)\cdot v_2 + 5\cdot v_3=-v_2 + 5v_3%%

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

%%v_2= 5v_3%%

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch %%v_2=5%% und %%v_3=1%%. Du erhältst also:

%%\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}%%

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

%%\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 2+ 5\cdot(-1) + 1\cdot 5 =0+(-5)+5=0%%

Anmerkung

Es gibt unendlich viele Vektoren %%\vec v%%, die %%\vec v \odot\vec u\;=\;0%% erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu %%\vec u%% orthogonale Ebene.

%%\vec u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor %%\vec{u}%% einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor %%\vec v%%, sodass das Skalarprodukt zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% %%0%% ist.

Es lässt sich %%v_1=0%% annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

%%0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 12\\ 3\\4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 12\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 4\cdot v_3=3v_2 + 4v_3%%

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

%%3v_2= -4v_3%%

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch %%v_2=4%% und %%v_3=-3%%. Du erhältst also:

%%\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}%%

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

%%\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+ 4\cdot3 + (-3)\cdot 4 =0+12-12=0%%

Anmerkung

Es gibt unendlich viele Vektoren %%\vec v%%, die %%\vec v \odot\vec u\;=\;0%% erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu %%\vec u%% orthogonale Ebene.

%%\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor %%\vec{u}%% einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor %%\vec v%%, sodass das Skalarprodukt zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% %%0%% ist.

Es lässt sich %%v_1=0%% annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

%%0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-2)\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 1\cdot v_3=3v_2 + v_3%%

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

%%3v_2= -v_3%%

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch %%v_2=1%% und %%v_3=-3%%. Du erhältst also:

%%\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}%%

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

%%\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+ 1\cdot3 + 1\cdot (-3) =0+3+(-3)=0%%

Anmerkung

Es gibt unendlich viele Vektoren %%\vec v%%, die %%\vec v \odot\vec u\;=\;0%% erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu %%\vec u%% orthogonale Ebene.

%%\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor %%\vec{u}%% einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor %%\vec v%%, sodass das Skalarprodukt zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% %%0%% ist.

Es lässt sich %%v_1=0%% annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

%%0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\-4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot 0+ (-2)\cdot v_2 + (-4)\cdot v_3=-2v_2 -4v_3%%

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

%%2v_2= -4v_3%%

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch %%v_2=-4%% und %%v_3=2%%. Du erhältst also:

%%\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}%%

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

%%\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+ (-4)\cdot(-2) + 2\cdot (-4) =0+8+(-8)=0%%

Anmerkung

Es gibt unendlich viele Vektoren %%\vec v%%, die %%\vec v \odot\vec u\;=\;0%% erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu %%\vec u%% orthogonale Ebene.

%%\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor %%\vec{u}%% einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor %%\vec v%%, sodass das Skalarprodukt zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% %%0%% ist.

Es lässt sich %%v_3=0%% annehmen, wegen %%u_3=0%%. Dann erhältst du die Gleichung:

%%0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\0 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix}= 3\cdot v_1+ (-4)\cdot v_2 + 0\cdot 0=3v_1 + (-4)v_2%%

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

%%3v_1= 4v_2%%

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch %%v_1=-4%% und %%v_2=-3%%. Du erhältst also:

%%\vec{v}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}%%

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

%%\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+ (-3)\cdot(-4) + 0\cdot 0 =(-12)+12+0=0%%

Anmerkung

Es gibt unendlich viele Vektoren %%\vec v%%, die %%\vec v \odot\vec u\;=\;0%% erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu %%\vec u%% orthogonale Ebene.

%%\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor %%\vec{u}%% einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor %%\vec v%%, sodass das Skalarprodukt zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% %%0%% ist.

Es lässt sich %%v_2=0%% annehmen, wegen %%u_2=0%%. Dann erhältst du die Gleichung:

%%0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\-1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot v_1+ 0\cdot 0 + (-1)\cdot v_3=v_1 - v_3%%

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

%%3v_1= v_3%%

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch %%v_1=1%% und %%v_2=1%%. Du erhältst also:

%%\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}%%

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

%%\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+ 0\cdot 0 + 1\cdot (-1) =1-1=0%%

Anmerkung

Es gibt unendlich viele Vektoren %%\vec v%%, die %%\vec v \odot\vec u\;=\;0%% erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu %%\vec u%% orthogonale Ebene.

%%\vec u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor %%\vec{u}%% einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor %%\vec v%%, sodass das Skalarprodukt zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% %%0%% ist.

Es lässt sich %%v_1=0%% annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

%%0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 5\\ 1\\9\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 5\cdot 0+ 1\cdot v_2 + 9\cdot v_3=v_2 + 9v_3%%

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

%%v_2= -9v_3%%

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch %%v_2=-9%% und %%v_3=1%%. Du erhältst also:

%%\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \\ 1\end{pmatrix}%%

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

%%\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+ (-9)\cdot 1 + 1\cdot 9 =0+(-9)+9=0%%

Anmerkung

Es gibt unendlich viele Vektoren %%\vec v%%, die %%\vec v \odot\vec u\;=\;0%% erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu %%\vec u%% orthogonale Ebene.

%%\vec u=\begin{pmatrix}-1\\3\\9\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor %%\vec{u}%% einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor %%\vec v%%, sodass das Skalarprodukt zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% %%0%% ist.

Es lässt sich %%v_2=0%% annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

%%0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\9 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-1)\cdot v_1+ 3\cdot 0 + 9\cdot v_3=-v_1 + 9v_3%%

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

%%v_1= 9v_3%%

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch %%v_1=9%% und %%v_3=1%%. Du erhältst also:

%%\vec{v}=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}%%

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

%%\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+ 3\cdot0 + 1\cdot 9 =(-9)+0+9=0%%

Anmerkung

Es gibt unendlich viele Vektoren %%\vec v%%, die %%\vec v \odot\vec u\;=\;0%% erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu %%\vec u%% orthogonale Ebene.

%%\vec u=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac56\\0.4\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor %%\vec{u}%% einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor %%\vec v%%, sodass das Skalarprodukt zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% %%0%% ist.

Es lässt sich %%v_2=0%% annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

%%0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 4\\ -\frac56\\0,4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 4\cdot v_1+ (-\frac56 )\cdot 0 + 0,4\cdot v_3=4v_1 + 0,4v_3%%

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

%%v_3= -10v_1%%

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch %%v_1=1%% und %%v_3=-10%%. Du erhältst also:

%%\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}%%

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

%%\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+ (-\frac 56 )\cdot0 + (-10)\cdot 0,4 =4+0-4=0%%

Anmerkung

Es gibt unendlich viele Vektoren %%\vec v%%, die %%\vec v \odot\vec u\;=\;0%% erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu %%\vec u%% orthogonale Ebene.

Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}%%   und   %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}4\\-2\\-6\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ist.

%%\begin{align} \overrightarrow a\odot\overrightarrow b &=0\cdot4+3\cdot\left(-2\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-6\right)\\ &=0-6+6\\ &=0 \end{align}%%

%%\overrightarrow a\odot\overrightarrow b=0\;\Rightarrow\;\overrightarrow a\perp\overrightarrow b%%

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}%%   und   %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ist.

%%\begin{align} \overrightarrow a\odot\overrightarrow b &=1\cdot4+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-2\right)\\ &=4+1-4\\ &=1 \end{align}%%

%%\overrightarrow a\odot\overrightarrow b=1\neq0\;\Rightarrow\;\overrightarrow a\not\perp \overrightarrow b%%

Die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}%%   und   %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}4\\2\\-8\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ist.

%%\vec a \odot \vec b = 5\cdot4+2\cdot2+3\cdot(-8)=20+4-24=0%%

%%\vec a \odot\vec b =0\;\Rightarrow\vec a \perp\vec b%%

%%\overrightarrow a%% und %%\overrightarrow b%% stehen senkrecht aufeinander.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}10\\-4\\2\end{pmatrix}%%   und   %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ist.

%%\begin{align} \vec a \odot \vec b &=10\cdot2+\left(-4\right)\cdot5+2\cdot0\\ &=20-20+0\\ &=0 \end{align}%%

%%\vec a \odot \overrightarrow b=0\;\Rightarrow\;\overrightarrow a\perp\overrightarrow b%%

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}7\\3\\2\end{pmatrix}%%   und   %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ist.

%%\begin{align} \vec a \odot\vec b&=7\cdot0+3\cdot\left(-1\right)+2\cdot1\\ &=0-3+2\\ &=-1\end{align}%%

%%\vec a \odot\vec b =-1\neq0\;\Rightarrow\;\vec a\not\perp\vec b%%

Die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}%%   und   %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}5\\0\\-5\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ist.

%%\begin{align} \vec a \odot\vec b &=1\cdot5+1\cdot0+1\cdot\left(-5\right)\\ &=5+0-5\\ &=0 \end{align}%%

%%\vec a\odot\vec b=0\;\Rightarrow\;\vec a\perp\vec b%%

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

 

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}8\\2\\5\end{pmatrix}%%   und   %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ist.

%%\begin{align}\vec a\odot\vec b &=8\cdot\left(-3\right)+2\cdot2+5\cdot4\\ &=-24+4+20\\ &=0\end{align}%%

%%\vec a\odot\vec b=0\;\Rightarrow\;\vec a\perp\vec b%%

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}17\\21\\12\end{pmatrix}%%   und   %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-3\\1\\2.5\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ist.

%%\begin{align}\vec a\odot\vec b &=17\cdot\left(-3\right)+21\cdot1+12\cdot2.5\\ &=-51+21+30\\ &=0\end{align}%%

%%\vec a\odot\vec b=0\;\Rightarrow\;\vec a\perp\vec b%%

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

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