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Aufgaben zum Skalarprodukt -3D

1 Aufgabengruppe

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

u=(215)\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}  und  v=(672)\vec v=\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix} .

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Du sollst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Du erhältst durch Verwendung der Formel:

%%\vec u\odot\vec v =\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}=2\cdot6+(-1)\cdot7+5\cdot2=15%%

Das Skalarprodukt von u\vec u und v\vec v ist also 1515.

u=(1234)\vec u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}  und  v=(608)\vec v=\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix} .

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

uv=(1234)(608)=126+30+4(8)=7232=40\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}=12\cdot6+3\cdot0+4\cdot(-8)= 72-32=40

Das Skalarprodukt von u\vec u und v\vec v ist also 4040.

u=(231)\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}  und  v=(112)\vec v=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix} .

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

uv=(231)(112)=(2)(1)+31+1(2)=2+32=3\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-1)+3\cdot1+1\cdot(-2)=2+3-2=3

Das Skalarprodukt von u\vec u und v\vec v ist also 33.

u=(124)\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}  und  v=(331)\vec v=\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix} .

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

uv=(124)(331)=1(3)+(2)3+(4)(1)=36+4=5\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}=1\cdot\left(-3\right)+\left(-2\right)\cdot3+\left(-4\right)\cdot\left(-1\right)=-3-6+4=-5

Das Skalarprodukt von u\vec u und v\vec v ist also 5-5.

u=(340)\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}  und  v=(8112)\vec v=\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix} .

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

uv=(340)(8112)=38+(4)1+012=244=20\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}=3\cdot8+\left(-4\right)\cdot1+0\cdot12=24-4=20

Das Skalarprodukt von u\vec u und v\vec v ist also 2020.

u=(101)\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}  und  v=(003)\vec v=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix} .

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

uv=(101)(003)=10+00+(1)(3)=3\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}=1\cdot0+0\cdot0+\left(-1\right)\cdot\left(-3\right)=3

Das Skalarprodukt von u\vec u und v\vec v ist also 33.

u=(519)\vec u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}  und  v=(282)\vec v=\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix} .

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

uv=(519)(282)=52+18+9(2)=10+818=0\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}=5\cdot2+1\cdot8+9\cdot\left(-2\right)=10+8-18=0

Das Skalarprodukt von u\vec u und v\vec v ist also 00. Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

u=(539)\vec u=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}  und  v=(281)\vec v=\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix} .

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

uv=(539)(281)=(5)2+38+9(1)=10+249=5\vec u\odot\vec v=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}=\left(-5\right)\cdot2+3\cdot8+9\cdot\left(-1\right)=-10+24-9=5

Das Skalarprodukt von u\vec u und v\vec v ist also 55.

u=(0,2535)\vec u=\begin{pmatrix}0,25\\3\\5\end{pmatrix}  und  v=(4230,2)\vec v=\begin{pmatrix}4\\-\dfrac23\\0,2\end{pmatrix} .

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

uv=(0,2535)(4230,2)=0,254+3(23)+50,2=12+1=0\vec u\odot\vec v =\begin{pmatrix}0,25\\3\\5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}4\\-\dfrac23\\0,2\end{pmatrix} = 0,25\cdot4+3\cdot\left(-\dfrac23\right)+5\cdot0,2 =1-2+1 =0

Das Skalarprodukt von u\vec u und v\vec v ist also 00. Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

2 Aufgabengruppe

Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.

u=(215)\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u\vec u und v\vec v 00 ist.

Es lässt sich v1=0v_1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

0=uv=(215)(0v2v3)=20+(1)v2+5v3=v2+5v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\5 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 2\cdot 0+ (-1)\cdot v_2 + 5\cdot v_3=-v_2 + 5v_3

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

v2=5v3v_2= 5v_3

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=5v_2=5 und v3=1v_3=1. Du erhältst also:

v=(051)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

vu=v1u1+v2u2+v3u3=02+5(1)+15=0+(5)+5=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 2+ 5\cdot(-1) + 1\cdot 5 =0+(-5)+5=0

u=(1234)\vec u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u\vec u und v\vec v 00 ist.

Es lässt sich v1=0v_1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

0=uv=(1234)(0v2v3)=120+3v2+4v3=3v2+4v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 12\\ 3\\4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 12\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 4\cdot v_3=3v_2 + 4v_3

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

3v2=4v33v_2= -4v_3

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=4v_2=4 und v3=3v_3=-3. Du erhältst also:

v=(043)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

vu=v1u1+v2u2+v3u3=012+43+(3)4=0+1212=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+ 4\cdot3 + (-3)\cdot 4 =0+12-12=0

u=(231)\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u\vec u und v\vec v 00 ist.

Es lässt sich v1=0v_1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

0=uv=(231)(0v2v3)=(2)0+3v2+1v3=3v2+v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-2)\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 1\cdot v_3=3v_2 + v_3

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

3v2=v33v_2= -v_3

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=1v_2=1 und v3=3v_3=-3. Du erhältst also:

v=(013)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

vu=v1u1+v2u2+v3u3=0(2)+13+1(3)=0+3+(3)=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+ 1\cdot3 + 1\cdot (-3) =0+3+(-3)=0

u=(124)\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u\vec u und v\vec v 00 ist.

Es lässt sich v1=0v_1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

0=uv=(124)(0v2v3)=10+(2)v2+(4)v3=2v24v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\-4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot 0+ (-2)\cdot v_2 + (-4)\cdot v_3=-2v_2 -4v_3

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

2v2=4v32v_2= -4v_3

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=4v_2=-4 und v3=2v_3=2. Du erhältst also:

v=(042)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

vu=v1u1+v2u2+v3u3=01+(4)(2)+2(4)=0+8+(8)=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+ (-4)\cdot(-2) + 2\cdot (-4) =0+8+(-8)=0

u=(340)\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u\vec u und v\vec v 00 ist.

Es lässt sich v3=0v_3=0 annehmen, wegen u3=0u_3=0. Dann erhältst du die Gleichung:

0=uv=(340)(v1v20)=3v1+(4)v2+00=3v1+(4)v20=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\0 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix}= 3\cdot v_1+ (-4)\cdot v_2 + 0\cdot 0=3v_1 + (-4)v_2

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

3v1=4v23v_1= 4v_2

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=4v_1=-4 und v2=3v_2=-3. Du erhältst also:

v=(430)\vec{v}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

vu=v1u1+v2u2+v3u3=(4)3+(3)(4)+00=(12)+12+0=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+ (-3)\cdot(-4) + 0\cdot 0 =(-12)+12+0=0

u=(101)\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u\vec u und v\vec v 00 ist.

Es lässt sich v2=0v_2=0 annehmen, wegen u2=0u_2=0. Dann erhältst du die Gleichung:

0=uv=(101)(v10v3)=1v1+00+(1)v3=v1v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\-1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot v_1+ 0\cdot 0 + (-1)\cdot v_3=v_1 - v_3

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

3v1=v33v_1= v_3

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=1v_1=1 und v2=1v_2=1. Du erhältst also:

v=(101)\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

vu=v1u1+v2u2+v3u3=11+00+1(1)=11=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+ 0\cdot 0 + 1\cdot (-1) =1-1=0

u=(519)\vec u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u\vec u und v\vec v 00 ist.

Es lässt sich v1=0v_1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

0=uv=(519)(0v2v3)=50+1v2+9v3=v2+9v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 5\\ 1\\9\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 5\cdot 0+ 1\cdot v_2 + 9\cdot v_3=v_2 + 9v_3

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

v2=9v3v_2= -9v_3

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=9v_2=-9 und v3=1v_3=1. Du erhältst also:

v=(091)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \\ 1\end{pmatrix}

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

vu=v1u1+v2u2+v3u3=05+(9)1+19=0+(9)+9=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+ (-9)\cdot 1 + 1\cdot 9 =0+(-9)+9=0

u=(139)\vec u=\begin{pmatrix}-1\\3\\9\end{pmatrix}

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u\vec u und v\vec v 00 ist.

Es lässt sich v2=0v_2=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

0=uv=(139)(0v2v3)=(1)v1+30+9v3=v1+9v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\9 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-1)\cdot v_1+ 3\cdot 0 + 9\cdot v_3=-v_1 + 9v_3

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

v1=9v3v_1= 9v_3

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=9v_1=9 und v3=1v_3=1. Du erhältst also:

v=(901)\vec{v}=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

vu=v1u1+v2u2+v3u3=9(1)+30+19=(9)+0+9=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+ 3\cdot0 + 1\cdot 9 =(-9)+0+9=0

u=(4560.4)\vec u=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac56\\0.4\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u\vec u und v\vec v 00 ist.

Es lässt sich v2=0v_2=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

0=uv=(4560,4)(v10v3)=4v1+(56)0+0,4v3=4v1+0,4v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 4\\ -\frac56\\0,4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 4\cdot v_1+ (-\frac56 )\cdot 0 + 0,4\cdot v_3=4v_1 + 0,4v_3

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

v3=10v1v_3= -10v_1

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=1v_1=1 und v3=10v_3=-10. Du erhältst also:

v=(1010)\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

vu=v1u1+v2u2+v3u3=14+(56)0+(10)0,4=4+04=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+ (-\frac 56 )\cdot0 + (-10)\cdot 0,4 =4+0-4=0

3 Aufgabengruppe

Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

a=(031)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}   und   b=(426)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}4\\-2\\-6\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 00 ist.

ab\overrightarrow a\odot\overrightarrow b

=

04+3(2)+(1)(6)0\cdot4+3\cdot\left(-2\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-6\right)

=

06+60-6+6

=

0

ab=0    ab\overrightarrow a\odot\overrightarrow b=0\;\Rightarrow\;\overrightarrow a\perp\overrightarrow b

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

a=(112)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}   und   b=(412)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 00 ist.

ab\overrightarrow a\odot\overrightarrow b

=

14+(1)(1)+2(2)1\cdot4+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-2\right)

=

4+144+1-4

=

1

ab=10    a⊥̸b\overrightarrow a\odot\overrightarrow b=1\neq0\;\Rightarrow\;\overrightarrow a\not\perp \overrightarrow b

Die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.

a=(523)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}   und   b=(428)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}4\\2\\-8\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 00 ist.

ab=54+22+3(8)=20+424=0\vec a \odot \vec b = 5\cdot4+2\cdot2+3\cdot(-8)=20+4-24=0

ab=0  ab\vec a \odot\vec b =0\;\Rightarrow\vec a \perp\vec b

a\overrightarrow a und b\overrightarrow b stehen senkrecht aufeinander.

a=(1042)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}10\\-4\\2\end{pmatrix}   und   b=(250)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 00 ist.

ab\vec a \odot \vec b

=

102+(4)5+2010\cdot2+\left(-4\right)\cdot5+2\cdot0

=

2020+020-20+0

=

0

ab=0    ab\vec a \odot \overrightarrow b=0\;\Rightarrow\;\overrightarrow a\perp\overrightarrow b

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

a=(732)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}7\\3\\2\end{pmatrix}   und   b=(011)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 00 ist.

ab\vec a \odot\vec b

=

70+3(1)+217\cdot0+3\cdot\left(-1\right)+2\cdot1

=

03+20-3+2

=

1-1

ab=10    a⊥̸b\vec a \odot\vec b =-1\neq0\;\Rightarrow\;\vec a\not\perp\vec b

Die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.

a=(111)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}   und   b=(505)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}5\\0\\-5\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 00 ist.

ab\overrightarrow a\odot\overrightarrow b

=

15+10+1(5)1\cdot5+1\cdot0+1\cdot\left(-5\right)

=

5+055+0-5

=

00

ab=0    ab\vec a\odot\vec b=0\;\Rightarrow\;\vec a\perp\vec b

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

a=(825)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}8\\2\\5\end{pmatrix}   und   b=(324)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren

Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 00 ist.

ab\overrightarrow a\odot\overrightarrow b

=

8(3)+22+548\cdot\left(-3\right)+2\cdot2+5\cdot4

=

24+4+20-24+4+20

=

00

ab=0    ab\vec a\odot\vec b=0\;\Rightarrow\;\vec a\perp\vec b

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

a=(172112)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}17\\21\\12\end{pmatrix}