Aufgaben

Berechne die Fläche der Dreiecke ABC.

A(1/2); B(2/3); C(3/0)

Dreiecksfläche berechnen

A(1/2); B(2/3); C(3/0)

Zeichne die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5594_ztR8UR4RLU.xml

%%\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\begin{pmatrix}1-3\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\begin{pmatrix}2-3\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}%%

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( %%\mathrm\alpha%% ) oder setze um die Determinante einen Betrag.

Wichtig: %%\frac12%% nicht vergessen!

Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.

%%\mathrm A_{\Delta}=\frac12\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{CA}}&\overrightarrow{\mathrm{CB}}\end{vmatrix}\right|=\frac12\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{CB}}&\overrightarrow{\mathrm{CA}}\end{vmatrix}=\frac12\begin{vmatrix}-1&-2\\3&2\end{vmatrix}=\frac12(-2+6)=2\;FE%%

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den %%\mathbb{R}^3%% ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag %%0%% hinzugefügt wird.

Berechne nun das Kreuzprodukt %%\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}%%. Das Ergebnis ist ein zu %%\overrightarrow{CA}%% und %%\overrightarrow{CB}%% orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von %%\overrightarrow{CA}%% und %%\overrightarrow{CB}%% aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

$$A_{\Delta}=\frac12\left|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right|=2\;FE$$

A(-1/-1); B(5/1); C(2/4)

Dreiecksfläche berechnen

A(-1|-1); B(5|1); C(2|4)

Zeichne die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5596_6Ov3rDQTfD.xml

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}5-(-1)\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}2-(-1)\\4-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}%%

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( %%\mathrm\alpha%% ) oder setze um die Determinante einen Betrag.

Wichtig: %%\frac12%% nicht vergessen!

Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.

%%\mathrm A_{\Delta}=\frac12\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{AC}}&\overrightarrow{\mathrm{AB}}\end{vmatrix}\right|=\frac12\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{AB}}&\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{vmatrix}=\frac12\begin{vmatrix}6&3\\2&5\end{vmatrix}=\frac12(30-6)=12\;FE%%

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den %%\mathbb{R}^3%% ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag %%0%% hinzugefügt wird.

Berechne nun das Kreuzprodukt %%\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}%%. Das Ergebnis ist ein zu %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%% orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%% aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

$$A_{\Delta}=\frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}0\\0\\24\end{pmatrix}\right|=12\;FE$$

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