Aufgaben

Die Flächeninhalte von Trapez und Dreieck lassen sich auf den Flächeninhalt eines Parallelogramms zurückführen. Trotzdem bezeichnet man in der Mathematik nicht das Parallelogramm, sondern das Dreieck als Grundfigur. Warum wohl?

Trage die Punkte A(2|-1) und B(6|-1) in ein Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) ein. Die Strecke %%\overline{AB}%% wir hier mit %%c%% bezeichnet. Gib mindestens 3 Möglichkeiten für die Koordinaten des Punktes C an, so dass das Dreieck ABC einen Flächeninhalt von 4 cm² hat. Gib auch die Koordinaten eines Punktes D an, so dass das Dreieck einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck ABC hat. die Strecke %%\overline{BD}\;%% wird hier mit %%a%% bezeichnet.

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Rechnen mit Dreiecken

[wiki=38][/wiki]

  

Teilaufgabe a

Punkte in Koordinatensystem einzeichnen.

gegeben sind :  %%\begin{array}{l}A_{Dreieck}=4cm^2\\\overline{AB}=4cm\end{array}%%         gesucht ist : %%x%%

Flächeninhalt Dreieck %%=\frac12ch%% da rechtwinklig.

%%0,5\cdot4cm\cdot x=4cm^2%%

%%\left|:0,5\cdot4\right.%%      

%%x=\frac{4cm^2}{2cm}%% %%=2cm%%

= Länge der Seite %%\overline{BC_1}%%     bzw. Länge der Höhe h      Es gilt: %%\frac12\cdot gh%%

Danach muss also nur erschlossen werden, für welche Koordinaten des Punktes C in Abhängigkeit vom Punkt B bzw. für welche Höhe h dies gilt.

   

Teilaufgabe b

%%2\cdot A_{Dreieck_A}=\frac12\cdot c_{Dreieck_B}\cdot a_{Dreieck_B}%%

%%c=h=\overline{AB}=4cm%%       %%c=h%% da rechtwinkliges Dreieck

%%8cm^2=0,5\cdot4cm\cdot x%%

%%4cm=x%%

= Länge der Seite %%\overline{BD}%%    bzw. Länge der Höhe h wenn gilt: %%A=\frac12gh%%

Gegeben ist das schraffierte Dreieck.

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Zeichne ein Dreieck, das in allen Winkeln übereinstimmt, aber nicht kongruent ist.Ein Eckpunkt soll dabei der hervorgehobene Punkt sein.

Dreiecke konstruieren

Dreieck zeichnen, indem man zwei Parallelen zu den Strecken %%\overline{CB}%% und %%\overline{AB}%% durch den Punkt D zeichnet. Jetzt eine Gerade durch die Punkte A und C zeichnen. Das jetzt enstandenen Dreieck ACD hat die gleichen Winkel wie das Dreieck ACB, ist aber nicht kongruent .

Geogebra File: /uploads/legacy/4150_xZs9u3qzmB.xml

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit a=b.

a = 44,2cm

c = 63,4cm

Berechne die Höhe des Dreiecks.

Wende den Satz des Pythagoras an, um die Höhe zu berechnen.

%%h_c=\sqrt{b^2-\left(\frac12c\right)^2}%%

%%h_c\approx30,802cm%%

Berechne nun %%\alpha,\beta%% und %%\gamma%% mithilfe von Sinus oder Cosinus ..

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\alpha\approx44,177^\circ%%

oder:

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\alpha\approx44,177^\circ%%

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}a%%

%%\beta\approx44,177^\circ%%

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\beta=44,177^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

%%\gamma=180^\circ-2\cdot44,177^\circ%%

%%\gamma=91,646^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\frac12\gamma\approx45,8^\circ%%

%%\gamma=45,8^\circ\cdot2=91,6^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}a%%

%%\frac12\gamma\approx45,8^\circ%%

%%\gamma=2\cdot45,8^\circ=91,6^\circ%%

a = 114,5m

%%\alpha%% = 32,3°

Berechne die Seite c des Dreiecks:

Verwende den Cosinus , um die Hypotenuse des Dreiecks zu berechnen,

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\left|\cdot b\right.%%

%%\cos\left(32,3^\circ\right)\cdot114,5m=\frac12c%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%2\cdot\left(\cos\left(32,3^\circ\right)\cdot114,5m\right)=c%%

%%c\approx193,565m%%

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende dafür den Sinus .

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\left|\cdot b\right.%%

%%\sin\left(32,3^\circ\right)\cdot114,5m=h_c%%

%%h_c=61,183m%%

Berechne die zwei fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\beta=32,3^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\beta\right)=\frac ha%%

%%\beta=32,3^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

%%\gamma=180^\circ-2\cdot32,3^\circ%%

%%\gamma=115,4^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}b%%

%%\frac12\gamma=57,25^\circ%%

%%\gamma=115,4^\circ%%

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\frac12\gamma=57,25^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=115,4^\circ%%

c = 35,4cm

%%\beta%% = 43,9°

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks.

Verwende den Cosinus , um die zwei Katheten auszurechnen,

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\left|\cdot a;\;:\cos\left(\beta\right)\right.%%

%%a=\frac{{\displaystyle\frac12}\cdot35,4cm}{\cos\left(43,9^\circ\right)}%%

%%a=24,565cm=b%%

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}a%%

%%\left|\cdot a\right.%%

%%h_c=\sin\left(43,9^\circ\right)\cdot24,565cm%%

%%h_c=17,033cm%%

Berechne die zwei fehlenden Winkel mit Sinus oder Cosinus .

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\alpha=43,9^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\alpha=43,9^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck, um den letzen Winkel zu berechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot43,9^\circ%%

%%\gamma=92,2^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}b%%

%%\frac12\gamma=46,1^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=92,2^\circ%%

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\frac12\gamma=46,1^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=92,2^\circ%%

%%h_c%% = 14,8cm

%%\alpha%% = 28,3°

Bereche die Seiten a und b des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\left|\cdot b;\;:\sin\left(\alpha\right)\right.%%

%%b=\frac{14,8cm}{\sin\left(28,3^\circ\right)}%%

%%b=31,218cm=a%%

Berechne die Seite c des Dreicks.

Verwende hierfür den Cosinus .

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\left|\cdot b\right.%%

%%\cos\left(28,3^\circ\right)\cdot31,218cm=\frac12c%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%c=54,973cm%%

Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Cosinus oder Sinus ,

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\beta=28,3^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}a%%

%%\beta=28,3^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck , um den letzten Winkel auszurechnen,

%%\gamma=180^\circ-2\cdot28,3^\circ%%

%%\gamma=123,4^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}b%%

%%\frac12\gamma=61,7^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=123,4^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\frac12\gamma=61,7^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=123,4^\circ%%

a = 146,4m

%%h_c%% = 58,4m

Berechne den Winkel %%\alpha%% ..

Verwende hierfür den Sinus ,

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\alpha=23,51^\circ%%

Berechne nun die Seite c mithilfe des Cosinus .

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\left|\cdot b\right.%%

%%\frac12c=\cos\left(\alpha\right)\cdot b%%

%%\frac12c=134,25m%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%c=268,5m%%

Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus .

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\beta=23,51^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}a%%

%%\beta=23,51^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

%%\gamma=180^\circ-2\cdot23,51^\circ%%

%%\gamma=132,98^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}b%%

%%\frac12\gamma=66,49^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=132,98^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\frac12\gamma=66,49^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=132,98^\circ%%

Multiple Choice Test zur Kongruenz von Dreiecken

Dreiecke, die in allen Winkeln übereinstimmen, sind stets kongruent.

Schau dir die Kongruenzsätze nochmal genau an!

Richtig! Hierfür gibt es keinen Kongruenzsatz. Nimm als Gegenbeispiel zum Beispiel dein Geodreieck: Geodreiecke gibt es in verschiedenen Größen, die Winkel des Dreiecks sind jedoch immer gleich.

Alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich.

Beim gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60° groß. Deshalb sind sie ähnlich.

Überlege dir nochmal, wann Dreiecke ähnlich sind.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

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Die Aufgaben und v.a. die Lösungen müssen überarbeitet/korrigiert/korrekturgelesen werden:
- Layout der Lösungen (bei Aufgabe 5 sogar die Aufgabenstellung) nach aktuellen Richtlinien überarbeiten
- Bei manchen Aufgaben: ausführlichere Lösungen

Gruß,
Nish
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