Aufgaben

 

Im Quadrat ABCD sind die Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . zu sehen.
Achte bei den folgenden Fragen auf die gestrichelten Hilfslinien.

  1. Welche gemeinsame Besonderheiten besitzen alle diese Dreiecke?

  2. Welchen Bruchteil der Quadratfläche  %%A_Q%% nimmt das Dreieck (1) ein?

  3. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt  %%A_{\left(1\right)}%% des Dreiecks (1) und dem Flächeninhalt  %%A_{\left(2\right)}%% des Dreiecks (2)?

  4. Welchen Bruchteil der Quadratfläche  %%A_Q%% nehmen die beiden Dreiecke (1) und (2) zusammen ein? Wie viel Prozent sind das?

  5. Welchen Bruchteil der Quadratfläche nimmt das Dreieck (4) ein?

  6. Welchen Bruchteil der Quadratfläche nehmen alle Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . zusammen ein?

  7. Was ergibt %%\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}…%% ?

Teilaufgabe a.

Alle diese Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig.

 

Teilaufgabe b.

%%A_{\left(1\right)}=\frac14A_Q%%

 

Teilaufgabe c.

%%A_{\left(1\right)}=\frac12A_{\left(2\right)}%%

 

Teilaufgabe d.

%%\frac14+\frac18=\frac38=0,375=37,5\% %%

 

Teilaufgabe e.

%%A_{\left(4\right)}=A_{\left(3\right)}:2=A_{\left(2\right)}:4=A_{\left(1\right)}:8=\frac14A_Q:8=\frac1{32}A_Q%%

 

Teilaufgabe f.

Aus der Zeichnung erkennst du: Alle Dreiecke von (1), (2) angefangen bis ins unendlich kleinste ergeben die Hälfte des Quadrates ABCD.

 

Teilaufgabe g.

%%\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}=\frac12%%

 

Im Quadrat ABCD sind die getönten Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . und die ”weißen“ Dreiecke (D1), (D2), (D3), (D4), . . . zu sehen.

  1. Welche gemeinsame Besonderheiten besitzen alle diese Dreiecke?

  2. Welchen Bruchteil der Quadratfläche nimmt das getönte Dreieck (1) ein?

  3. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt  %%A_{\left(1\right)}%% des Dreiecks (1) und dem Flächeninhalt %%A_{\left(2\right)}%% des Dreiecks (2)? Begründe.

  4. Welchen Bruchteil der Quadratfläche AQ nehmen die beiden getönten Dreiecke (1) und (2) zusammen ein? Wie viel Prozent sind das?

  5. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt eines dieser immer kleiner werdenden getönten Dreiecke (1), (2), (3), (4),… und seinem jeweiligen Vorgänger? Begründe deine Antwort anhand der Dreiecke (D1), (D2), (D3), (D4) … .

  6. Welchen Bruchteil der Fläche des Quadrates ABCD nimmt das getönte Dreieck (4) ein?

  7. Wie groß sind alle getöänten Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . zusammen?

  8. Was ergibt %%\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+…%% ?

  9. Was ergibt %%\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+…%% ?

Teilaufgabe a.

Alle diese Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig.

 

Teilaufgabe b.

%%A_{\left(1\right)}=\frac12A_Q%%

 

Teilaufgabe c.

%%A_{\left(2\right)}=\frac12A_{\left(1\right)}%%

Begründung:

Die Diagonalen [AC] und [BD] zerlegen das Quadrat ABCD in vier kongruente Teildreiecke, wovon eines das Teildreieck (2) ist. Das Dreieck ABD ist aus zwei dieser Teildreiecke zusammengesetzt. Also ist das Dreieck (2) halb so groß wie das Teildreieck (1).

 

Teilaufgabe d.

%%\frac12+\frac14=\frac340,75=75\% %%

 

Teilaufgabe e.

Es wurde schon gezeigt, dass %%A_{\left(2\right)}=\frac12A_{\left(1\right)}%% gilt.

Die Dreiecke MPC (= Dreieck (D1)), MCQ und Dreieck (3) sind kongruent.

Also gilt %%A_{\left(3\right)}=\frac12A_{\left(2\right)}%% .

Am oben liegenden Quadrat mit der Seitenlänge [DQ] erkennst du: %%A_{\left(4\right)}=\frac12A_{\left(3\right)}%% und die Dreiecke (4) und (D2) sind kongruent.

Insgesamt gilt: Jedes getönte Dreieck ist halb so groß wie sein Vorgänger. Jedes getönte Dreieck hat einen kongruenten Partner unter den Dreiecken (D1), (D2), (D3), (D4),… . Jedes der Dreiecke (D1), (D2), (D3), (D4),… . hat einen kongruenten Partner in den getönten.

 

Teilaufgabe f.

%%A_{\left(4\right)}=A_{\left(3\right)}:2=A_{\left(2\right)}:4=A_{\left(1\right)}:8=\frac12A_Q:8=\frac1{16}A_Q%%

 

Teilaufgabe g.

Aus der Zeichnung erkennst du: Alle Dreiecke von (1), (2) angefangen bis ins unendlich kleinste ergeben das vollständige Quadrat ABCD.

 

Teilaufgabe h.

Was ergibt %%\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+…%% ?

 

Teilaufgabe i.

%%\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+…=%%

da %%\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+…=1%%   muss man nur noch das hinzugefügte %%\frac12%% wieder abziehen.

%%=1-\frac12=\frac12%%

 

 

Der Schweizer Künstler Eugen Jost hat ein Bild gemalt, in dem lauter ineinander geschachtelte Quadrate dargestellt sind. Das Bild oben verdeutlicht dies.

  1. Erkläre, wie Eugen Jost diese Quadrate zustande gebracht hat.

  2. Eine chinesische Spruchweisheit lautet: "Das Unendliche ist ein Quadrat ohne Ecken." Erkläre den Zusammenhang zwischen dieser Aussage und dem Bild.

  3. In der obigen Darstellung sind einige Dreiecke nochmals farbig herausgehoben, die sich im Uhrzeigersinn spiralförmig in das Zentrum Z des Quadrates hineinwinden. Die Spirale beginnt mit dem Dreieck %%{\mathrm{AM}}_1M_2%% .

Welche gemeinsame Besonderheiten weisen diese Dreiecke in der Spirale auf?

  1. Welchen Bruchteil des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD nimmt das Dreieck  %%{\mathrm{AM}}_1M_2%% ein? Wie viel Prozent sind das?

  2. Begründe: Der Flächeninhalt des Dreiecks  %%{\mathrm{PQM}}_2%% ist halb so groß wie der des Dreiecks %%{\mathrm{AM}}_1M_2%% . Betrachte dazu die gestrichelte Hilfslinie [AP].

  3. Zeichne das Quadrat  %%{\mathrm{AM}}_1{\mathrm{ZM}}_2%% mit einer Seitenlänge von 4 cm. Übertrage das Dreieck %%{\mathrm{PQM}}_2%% in der richtigen Position. Begründe: Alle Dreiecke in der Spirale des Bildes lassen sich lückenlos in dem Quadrat %%{\mathrm{AM}}_1{\mathrm{ZM}}_2%% unterbringen.

  4. Begründe: Der Flächeninhalt aller Dreiecke in der Spirale ergibt zusammen ein Viertel des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD.

  5. Was ergibt %%\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64}…%% ?

Teilaufgabe a.

Die Seitenmittelpunkte des großen Quadrates ABCD liefern ein Quadrat, das um 90° gedreht worden ist. Die Seitenmittelpunkte dieses Quadrates liefern wiederum ein kleineres Quadrat, dessen Seitenmittelpunkte erneut ein noch kleineres Quadrat erzeugen usw. Das Ganze "verschwindet" schließlich im Zentrum der Figur.

 

Teilaufgabe b.

Die Eckpunkte der immer kleiner werdenden Quadrate rücken näher und näher zusammen, bis sie sich nicht mehr voneinander unterscheiden lassen. Somit entsteht im Unendlichen ein "Quadrat ohne Ecken".

 

Teilaufgabe c.

Diese Dreiecke sind alle gleichschenklig-rechtwinklig.

 

Teilaufgabe d.

Das Dreieck  %%{\mathrm{AM}}_1M_2%% nimmt %%\frac18%% des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD ein.

%%\frac18=0,125=12,5\% %%

 

Teilaufgabe e.

Das Viereck %%{\mathrm{APQM}}_2%% ist ein Parallelogramm. Die Diagonale %%\left[{\mathrm{PM}}_2\right]%% zerlegt dieses Parallelogramm in zwei kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Die Strecke [AP] zerlegt das Dreieck %%{\mathrm{AM}}_1M_2%% ebenfalls in zwei kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke.

Also gilt: %%A_{{\mathrm{ΔPQM}}_2}=\frac12A_{{\mathrm{ΔAM}}_1M_2}%%

 

Teilaufgabe f.

 

Das Viereck %%{\mathrm{PZQM}}_2%% ist ein Quadrat. Das Dreieck %%{\mathrm{PQM}}_2%% lässt sich also mit dem Dreieck %%{\mathrm{PZM}}_2%% zur Deckung bringen. Das Dreieck, das dem Dreieck %%{\mathrm{PQM}}_2%% unmittelbar in der Spirale folgt, ist zum Dreieck (1) kongruent. Sein Nachfolger in der Spirale deckt sich mit dem Dreieck (2), dessen Nachfolger in der Spirale deckt sich mit dem Dreieck (3) usw. So wird das Dreieck %%{\mathrm{PM}}_1Z%% nach und nach lückenlos mit Nachfolgern in der Spirale aufgefüllt.

 

Teilaufgabe g.

Mit allen Dreiecken aus der Spirale lässt sich das Quadrat  %%{\mathrm{AM}}_1{\mathrm{ZM}}_2%% lückenlos füllen. Dieses Quadrat bedeckt  %%\frac14%% des Quadrates ABCD.

 

Teilaufgabe h.

%%\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64}+…=%%

da %%\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+…=1%%   muss man nur noch das hinzugefügte %%\frac12%% und %%\frac14%% wieder abziehen.

%%=1-\frac12-\frac14=\frac14%%

In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel und alle Seiten gleich groß. Seine Eckpunkte liegen auf einem Kreis.

Zentrumswinkel = Winkel zwischen zwei benachbarten, gestrichelten Strahlen.

Bearbeite folgende Tabelle:
  

Name Maß eines Innenwinkels Maß eines Zentrumwinkels Überlege, wo so eine Figur im Alltag vorkommt
Regelmäßiges Viereck = Quadrat ![Geogebra File: /uploads/legacy/3750_TYI8LsDvfk.xml](/uploads/legacy/3751_6gRkModYbS.png)
Regelmäßiges Fünfeck = Pentagon ![Geogebra File: /uploads/legacy/3756_lDrmri5cJP.xml](/uploads/legacy/3757_O7d1MRIlER.png)
Regelmäßiges Sechseck = Hexagon ![Geogebra File: /uploads/legacy/3754_VEV7ufxJEK.xml](/uploads/legacy/3755_Yu7g7HV7N9.png)
Regelmäßiges Achteck ![Geogebra File: /uploads/legacy/3758_WT5bIDAt0k.xml](/uploads/legacy/3759_o2GjICHuCQ.png)
Regelmäßiges Zehneck ![Geogebra File: /uploads/legacy/3762_lfVxE8RSf4.xml](/uploads/legacy/3763_Rney5Pp2GB.png)
Name Maß eines Innenwinkels in Grad Maß eines Zentrumwinkels Überlege, wo so eine Figur im Alltag vorkommt
Regelmäßiges Viereck = Quadrat ![Geogebra File: /uploads/legacy/3750_TYI8LsDvfk.xml](/uploads/legacy/3751_6gRkModYbS.png) 360:4=90 90 Karos auf Papier
Regelmäßiges Fünfeck = Pentagon ![Geogebra File: /uploads/legacy/3756_lDrmri5cJP.xml](/uploads/legacy/3757_O7d1MRIlER.png) 360:5=72 72 Fußballoberfläche
Regelmäßiges Sechseck = Hexagon ![Geogebra File: /uploads/legacy/3754_VEV7ufxJEK.xml](/uploads/legacy/3755_Yu7g7HV7N9.png) 360:6=60 60 Bienenwabenmuster, Querschnitte von Bleistiften
Regelmäßiges Achteck ![Geogebra File: /uploads/legacy/3758_WT5bIDAt0k.xml](/uploads/legacy/3759_o2GjICHuCQ.png) 360:8=45 45 Stoppschild
Regelmäßiges Zehneck ![Geogebra File: /uploads/legacy/3762_lfVxE8RSf4.xml](/uploads/legacy/3763_Rney5Pp2GB.png) 360:10=36 36 Kristalle

Folgende Figur besteht aus Quadraten und einbeschriebenen Kreisen.Wie ist das Verhältnis des Radius des innersten Kreises zum Radius des äußersten Kreises?

Quadrat im Kreis Radius Verhältnis

Inkreis und Umkreis eines Quadrates

Man bertrachtet zunächst die zwei äußersten Kreise und das äußerste Quadrat.

Der Durchmesser des Inkreises im Quadrat ist %%a%%, also gilt für den Innkreisradius: %%r_i=\frac a2%%

Den Umkreisradius kann man mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen: $$r_u^2+r_u^2=a^2$$ $$2r_u^2=a^2$$ $$r_u^2=\frac{a^2}2$$ $$r_u=\sqrt{\frac{a^2}2}=\frac a{\sqrt2}=\frac{a\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac a{\left(\sqrt2\right)^2}\cdot\sqrt2=\frac a2\cdot\sqrt2$$

Wir betrachten zuerst allgemein ein Quadrat mit Umkreisradius %%r_u%% und Inkreisradius %%r_i%%.

%%r_u=\frac a2\sqrt2%%

%%\mid\cdot2%%

Löse diese Formel nach der Seitenlänge a auf.

%%2r_u=a\sqrt2%%

%%\mid:\sqrt2%%

$$a=\frac{2r_u}{\sqrt2}$$

Nun a in die Formel für den Inkreisradius %%r_i=\frac a2%% einsetzen.

%%r_i=\frac{\displaystyle\frac{2r_u}{\sqrt2}}2%%

Faktor 2 kürzen.

$$r_i=\frac{r_u}{\sqrt2}$$

Das heißt %%r_i%% ist %%\frac1{\sqrt2}\approx0,71%% so groß wie %%r_u%%.

Weil diese Zusammenhang allgemein gilt, gilt er natürlich auch für das äußerste Quadrat. Also: $$r_{i1}=\frac{r_{u1}}{\sqrt2}$$

Nun betrachten wir das zweite Quadrat. Der Umkreis dieses Quadrats ist der Inkreis des äußersten Quadrats. Also gilt: $$r_{i1}=r_{u2}$$ Mit dem allgemeinen Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius erhalten wir:

$$r_{i2}=\frac{r_{u2}}{\sqrt2}=\frac{r_{i1}}{\sqrt2}$$

Setze jetzt %%r_{i1}=\frac{r_{u1}}{\sqrt2}%% ein und vereinfache.

$$r_{i2}=\frac{\displaystyle\frac{r_{u1}}{\sqrt2}}{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}{\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}2$$

Der Umkreis des dritten Quadrats ist der Inkreis des zweiten Quadrats. Also gilt: $$r_{u3}=r_{i2}=\frac{r_{u1}}2$$ Aber auch der allgemeine Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius glit in diesem Quadrat:

$$r_{i3}=\frac{r_{u3}}{\sqrt2}$$

Setze %%r_{u3}=\frac{r_{u1}}2%% ein und vereinfache.

$$r_{i3}=\frac{\displaystyle\frac{r_{u1}}2}{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}2\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}$$

Auch beim vierten Quadrat ist der Umkreis der Inkreis des dritten Quadrats. Damit ergibt sich: $$r_{u4}=r_{i3}=\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}$$ Mit dem allgemeinen Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius folgt:

$$r_{i4}=\frac{r_{u4}}{\sqrt2}$$

Setze %%r_{u4}=\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}%% ein und vereinfache.

$$r_{i4}=\frac{\displaystyle\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}}{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}{2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac{r_{u1}}4$$

Das Verhältnis des Radius des innersten Kreises zum Radius des äußersten Kreis beträgt also 1:4.

Während der Übertragung der US-Tennismeisterschaften 2003 in New York war im Fernsehen ein Firmenlogo zu sehen, das so ähnlich aussah wie die Abbildung unten. Der Halbkreis mit dem Mittelpunkt A und das Dreieck im Inneren des weißen Quadrates wurden zusätzlich eingezeichnet. Eine Seite des mittleren Quadrates ist 3cm lang.

  1. Begründe: Wenn der Flächeninhalt dieses Dreiecks %%4,5\mathrm{cm}^2%% beträgt, muss eine Seite des mittleren Quadrates 3 cm lang sein.

  2. Welchen Bruchteil der Gesamtfläche nimmt das Dreieck im Zentrum ein?

  3. Schneide von einem Quadrat aus Papier mit der Seitenlänge 9 cm die vier Ecken so ab, dass der Umriss dieses Logos entsteht.

Wie viel Prozent des ursprüunglichen Papierquadrates sind weggefallen?

Begründe mithilfe des ursprünglichen Papierquadrates, dass das Quadrat im Inneren hat einen Umfang von 12 cm.

Teilaufgabe a)

Weil das Dreieck halb so groß wie das Quadrat ist, beträgt der Flächeninhalt des Quadrates  %%9\mathrm{cm}^2%% . Das hängt nicht davon ab, ob die Spitze dieses Dreiecks genau in der Mitte der oberen Quadratseite liegt. Eine Quadratseite ist demnach 3 cm lang.

 

Teilaufgabe b)

Das Logo setzt sich aus 5 ganzen und vier halben Quadraten zusammen, deren Flächeninhalt insgesamt %%63\mathrm{cm}^2%% beträgt.

Anteil des mittleren Dreiecks an der Gesamtfläche: %%\frac{4,5\mathrm{cm}^2}{63\mathrm{cm}^2}=\frac1{14}%%

 

Teilaufgabe c)

Es sind vier gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke mit einer Katheten länge von je 3 cm abgeschnitten worden.

 

Abfall: %%\frac{18\mathrm{cm}^2}{81\mathrm{cm}^2}=\frac29\approx22,22\% %% .

 

Pro Seite des ursprüglichen Quadrats wurden  %%2\cdot3\mathrm{cm}%% weggeschnitten. %%9\mathrm{cm}-2\cdot3\mathrm{cm}=3\mathrm{cm}%% bleiben als Seitenlänge des kleinen Quadrates übrig. Sein Umfang beträgt damit 12cm

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