Die Ordnungskraft der Mittelpunkte

%%ABCD%% sei ein allgemeines Viereck ohne jede Besonderheit. Es seien also Seiten weder parallel noch gleich lang.

Verbindet man die Mittelpunkte der Vierecksseiten zu einem neuen Viereck, seinem "Mittelpunktsviereck", so ist dieses stets ein Parallelogramm.

Ganz erstaunlich - oder nicht?

Begründe die "Ordnungskraft" der Seitenmittelpunkte eines Vierecks. Erkläre also, warum das Mittelpunktsviereck eines beliebigen Vierecks stets ein Parallelogramm ist.
Tipp: Der Strahlensatz hilft!
In der Strahlensatzfigur ADCADC (Teildreieck des Vierecks ABCDABCD) teilen die Mittelpunkte die Strahlen [DA[DA und [DC[DC im gleichen Verhältnis 1:1. Die Seite [M1M2][M_1M_2] ist demnach parallel zu [AC][AC], der Diagonalen des Vierecks.
Gleiches gilt für die drei anderen Seiten des Mittelpunktsvierecks. Dessen Seiten sind somit paarweise parallel zu einer Diagonalen des Vierecks (und im Übrigen gerade halb so lang wie diese.)
Das Mittelpunktsviereck ist also stets ein Parallelogramm.
Da die Seiten des Mittelpunktsvierecks parallel zu den Diagonalen des ursprünglichen Vierecks sind, ist der spitze Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks so groß wie der spitze Winkel, in dem sich die Diagonalen des ursprünglichen Vierecks schneiden. Also gilt: α=β\alpha=\beta.

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Quadraten? Begründe deine Antwort!

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Das Mittelpunktsviereck eines Quadrats ist wieder ein Quadrat.

Begründung:

Die Diagonalen des (ursprünglichen) Quadrats sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.

Damit sind die Seiten des Mittelpunktsvierecks auch gleich lang (halb so lang wie die ursprünglichen Diagonalen) und stehen aufeinander senkrecht.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Quadrats wieder ein Quadrat.

(Zusatz: Mit halb so großem Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.)

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rechtecken? Begründe deine Anwort!

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Das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks ist eine Raute.

Begründung:

Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang, stehen aber nicht aufeinander senkrecht.

Damit sind die vier Seiten des Mittelpunktsvierecks gleich lang. Die Eckwinkel sind aber nicht 90°.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks eine Raute (und kein Quadrat.)

(Zusatz: Der Flächeninhalt der Raute ist halb so groß wie der des ursprünglichen Rechtecks.)

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rauten? Begründe deine Anwort!

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Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist ein Rechteck.

Begründung:

Die Diagonalen einer Raute stehen aufeinander senkrecht, sind aber nicht gleich lang.

Damit sind die Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks rechte Winkel und die Seiten paarweise verschieden lang.

Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist somit ein Rechteck.

(Zusatz: Der Flächeninhalt des Rechtecks ist halb so groß wie der der ursprünglichen Raute.)