Aufgaben

Wie unterscheiden sich Flächeninhalt und Umfang der beiden abgebildeten Vierecke?

Du musst die Fläche und den Umfang für deine Antwort nicht berechnen!

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Flächeninhalt

Da die Seitenlänge der Grundseite (4 Einheiten) und die Höhe beider Vierecke (2 Einheiten) gleich lang sind, haben sie den gleichen Flächeninhalt. (Flächenformel für Parallelogramme)

Umfang

Der Umfang setzt sich aus der Länge aller Seiten zusammen. Die linke und rechte Seite der Figur B liegen schräg und sind deshalb länger als die linke und rechte Seite der Figur A. Deshalb besitzt Figur B auch insgesamt einen größeren Umfang als Figur A.

Folgende Figur besteht aus Quadraten und einbeschriebenen Kreisen.Wie ist das Verhältnis des Radius des innersten Kreises zum Radius des äußersten Kreises?

Quadrat im Kreis Radius Verhältnis

Inkreis und Umkreis eines Quadrates

Man bertrachtet zunächst die zwei äußersten Kreise und das äußerste Quadrat.

Der Durchmesser des Inkreises im Quadrat ist %%a%%, also gilt für den Innkreisradius: %%r_i=\frac a2%%

Den Umkreisradius kann man mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen: $$r_u^2+r_u^2=a^2$$ $$2r_u^2=a^2$$ $$r_u^2=\frac{a^2}2$$ $$r_u=\sqrt{\frac{a^2}2}=\frac a{\sqrt2}=\frac{a\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac a{\left(\sqrt2\right)^2}\cdot\sqrt2=\frac a2\cdot\sqrt2$$

Wir betrachten zuerst allgemein ein Quadrat mit Umkreisradius %%r_u%% und Inkreisradius %%r_i%%.

%%r_u=\frac a2\sqrt2%%

%%\mid\cdot2%%

Löse diese Formel nach der Seitenlänge a auf.

%%2r_u=a\sqrt2%%

%%\mid:\sqrt2%%

$$a=\frac{2r_u}{\sqrt2}$$

Nun a in die Formel für den Inkreisradius %%r_i=\frac a2%% einsetzen.

%%r_i=\frac{\displaystyle\frac{2r_u}{\sqrt2}}2%%

Faktor 2 kürzen.

$$r_i=\frac{r_u}{\sqrt2}$$

Das heißt %%r_i%% ist %%\frac1{\sqrt2}\approx0,71%% so groß wie %%r_u%%.

Weil diese Zusammenhang allgemein gilt, gilt er natürlich auch für das äußerste Quadrat. Also: $$r_{i1}=\frac{r_{u1}}{\sqrt2}$$

Nun betrachten wir das zweite Quadrat. Der Umkreis dieses Quadrats ist der Inkreis des äußersten Quadrats. Also gilt: $$r_{i1}=r_{u2}$$ Mit dem allgemeinen Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius erhalten wir:

$$r_{i2}=\frac{r_{u2}}{\sqrt2}=\frac{r_{i1}}{\sqrt2}$$

Setze jetzt %%r_{i1}=\frac{r_{u1}}{\sqrt2}%% ein und vereinfache.

$$r_{i2}=\frac{\displaystyle\frac{r_{u1}}{\sqrt2}}{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}{\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}2$$

Der Umkreis des dritten Quadrats ist der Inkreis des zweiten Quadrats. Also gilt: $$r_{u3}=r_{i2}=\frac{r_{u1}}2$$ Aber auch der allgemeine Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius glit in diesem Quadrat:

$$r_{i3}=\frac{r_{u3}}{\sqrt2}$$

Setze %%r_{u3}=\frac{r_{u1}}2%% ein und vereinfache.

$$r_{i3}=\frac{\displaystyle\frac{r_{u1}}2}{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}2\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}$$

Auch beim vierten Quadrat ist der Umkreis der Inkreis des dritten Quadrats. Damit ergibt sich: $$r_{u4}=r_{i3}=\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}$$ Mit dem allgemeinen Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius folgt:

$$r_{i4}=\frac{r_{u4}}{\sqrt2}$$

Setze %%r_{u4}=\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}%% ein und vereinfache.

$$r_{i4}=\frac{\displaystyle\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}}{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}{2\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac{r_{u1}}{2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac{r_{u1}}4$$

Das Verhältnis des Radius des innersten Kreises zum Radius des äußersten Kreis beträgt also 1:4.

1. „Jedes Trapez ist ein halbes Parallelogramm!“

Veranschauliche diese Aussage, indem du das Trapez in obiger Zeichnung geeignet ergänzt.

2. Berechne den Flächeninhalt des gelben Trapezes.

3. „Jedes Dreieck ist ein halbes Parallelogramm!“

Veranschauliche diese Aussage, indem du das Dreieck in obiger Zeichnung geeignet ergänzt.

4. Berechne den Flächeninhalt des roten Dreiecks.

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

%%a=3,5\text{ LE}%%

%%c=6\text{ LE}%%

%%h=3,5\text{ LE}%%

Lies die Längen der Seiten und der Höhe aus der Zeichnung ab um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen.

%%A_{Trapez}=\frac12\left(a+c\right)\cdot h%% %%A_{Trapez}=\frac12\left(3,5+6\right)\cdot3,5%% %%\approx16,625\text{ LE}^2%%

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4

%%A_{Dreieck}=\frac12gh%%

%%A_{Dreieck}=\frac12\cdot5\text{ LE}\cdot2\text{ LE}%% %%=5\text{ LE}^2%%

Lies die Länge der Grundseite und der Höhe des Dreiecks an der Zeichnung ab und berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks.

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Zu topic Gemischte Aufgaben zum Viereck: Aufgaben umsortieren aus Gemischte Aufgaben zum Viereck
Renate 2015-06-01 18:58:46
Laut Redaktionsbeschluss und Richtlinien sollen Aufgaben in topic-folder und nicht in topics kommen.
Diese Aufgaben hier sollten daher noch in geeignete topic-folder umsortiert werden.
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