Aufgaben

Experimentiere mit einem Zollstock

Mit einem Zollstock lassen sich leicht verschiedene Parallelogramme formen.

Was passiert mit der Höhe %%h_b%% eines bestimmten "Zollstockparallelogramms", wenn man dieses ohne Veränderung der Seitenlängen so verbiegt, dass die Höhe %%h_a%% nur noch die Hälfte (den dritten Teil; den vierten Teil) beträgt?

So kann man den Flächeninhalt des Paralleolgramms berechnen:

$$\begin{array}{l}A_{Paralleogramm}=a\;\cdot\;h_a\\\\A_{Parallelog ramm}=b\;\cdot\;h_b\end{array}$$

Dann gilt:

$$\begin{array}{l}a\;\cdot\;h_a=b\;\cdot\;h_b\\\Rightarrow\displaystyle h_b=\frac ab\cdot h_a\end{array}$$

Da %%a%% und %%b%% unverändert bleiben, ist %%h_b%% nur noch halb so groß (ein Drittel, ein Viertel), wenn sich %%h_a%% entsprechend ändert.

Wahr oder falsch?

Wird ohne Veränderung der Seitenlängen eine Höhe eines Parallelogramms um %%1\,\text{cm}%% (%%2\,\text{cm}%%, %%3\,\text{cm}%%) kleiner, dann wird auch die andere Höhe um %%1\,\text{cm}%% (%%2\,\text{cm}%%, %%3\,\text{cm}%%) kleiner.

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt:

$$\begin{array}{l}A_{Parallelogramm}=\;a\cdot h_a\;\;und\\A_{Parallelogramm}=\;b\cdot h_b\end{array}$$

Also gilt:

$$b\cdot h_b=a\cdot h_a$$

Verkleinere %%h_a%% um %%1\,\text{LE}%% und berechne das zugehörige %%h_b'%%.

Voraussetzung: %%h_a>1\;LE%%

$$b\cdot h_b'=a\cdot(h_a-1)$$

durch %%b%% dividieren

%%\displaystyle h_b'=\frac ab(h_a-1)%%

rechte Seite ausmultiplizieren

$$h_b'=\frac abh_a-\frac ab=h_b-\frac ab$$

Ergebnis:

Die neue Höhe %%h_b'%% wird um %%\displaystyle \frac{a}{b} \;\text{LE}%% kleiner. Nur wenn gilt: %%a=b%%, d.h. wenn das Parallelogramm eine Raute ist, würde auch %%h_b%% gerade um %%1\,\text{LE}%% kleiner werden.

Das gleiche gilt, wenn - falls dies überhaupt möglich ist - %%h_a%% um %%2\,\text{LE}%% oder %%3\,\text{LE}%% kleiner wird.

Große Lasten - hohe Kräfte!

Ein Parallelogramm, bei dem nur die Seitenlängen vorgegeben sind, ist nicht "stabil".

Falls jedoch zusätzlich noch eine Diagonalenlänge fest gegeben ist, "rührt" sich an dem Parallelogramm nichts mehr.

Probiere es z.B. an einem Zollstockparallelogramm aus.

In der Technik nennt man solch eine stabilisierende Diagonale eine "Verstrebung" und erreicht damit große Belastbarkeit, etwa bei Baukränen.

Kannst du dir erklären, warum solch eine Verstrebung funktioniert?

$$\quad \quad$$

Die Verformung eines Parallelogramms bei vorgegebenen Seitenlängen ändert die Innenwinkel des Vierecks. Deshalb die andere "Form".

Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke. Für diese sind dann ihre drei Seiten vorgegeben. Die Form eines Dreiecks - also auch ihre Innenwinkel - sind durch die Dreiecksseiten eindeutig bestimmt.

Damit ist jetzt auch die Form des Vierecks festgelegt und unveränderbar.

Die Lastarme des Krans sind aus verstrebten Rechtecken konstruiert, so dass sie - in Grenzen - belastbar sind. Die Grenzen liegen dann vor allem in der Materialbeschaffenheit der Kranteile.

$$\quad$$

Konstrukteure gefragt

Geometrische Aufgaben löst man in der Regel durch eine Berechnung oder durch eine Konstruktion.

Eine "Konstruktion" ist eine möglichst genaue Zeichnung alleine mit den Hilfsmitteln eines Zirkels und eines Lineals. Oft darf man zur Erleichterung auch ein Geodreieck verwenden.

Löse die folgenden Aufgabenstellungen jeweils durch eine Konstruktion.

Konstruiere eine Strecke durch den Punkt P als Mittelpunkt der Strecke so, dass die Endpunkte auf g und h liegen.

Du kannst den Konstruktionsverlauf abspielen.

-

-

Die Konstruktionsschritte:

  1. Spiegle den Punkt A am Punkt P, d.h. verlängere die Strecke %%\overline{AP}%% über P hinaus um sich selbst. Der Spiegelpunkt heiße A'.

  2. Zeichne die Parallele zu h durch A'.

  3. Schneide die Parallele mit g. Der Schnittpunkt heiße D.

  4. Schneide die Gerade DP mit h. Der Schnittpunkt heiße E.

Die Strecke [DE] wird von P halbiert und ist die Lösung der Aufgabe.

Begründung: AEA'D ist ein Parallelogramm und [DE] eine Diagonale, die vom Schnittpunkt der Diagonalen halbiert wird.

Lege eine Strecke von P aus so, dass der Endpunkt auf h liegt und die Strecke von g halbiert wird.

Du kannst den Konstruktionsverlauf abspielen.

-

-

Die Konstruktionsschritte:

  1. Zeichne zu h eine Parallele durch P.

  2. Schneide die Parallele mit g. Der Schnittpunkt heiße D.

  3. Zeichne eine Parallele zur Geraden AP durch D. Ihr Schnittpunkt mit h heiße E.

  4. Die Strecke [PE] ist die Lösung der Aufgabe.

Begründung: Das Viereck APDE ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich halbieren.

Konstruiere eine zur Geraden g parallele Strecke mit vorgegebener Länge a LE so, dass die Endpunkte der Strecke auf s und t liegen.

Du kannst die Konstruktionsschritte abspielen.

-

-

Die Konstruktionsschritte:

  1. Trage auf der Geraden g vom Punkt S aus die Länge a LE ab. Der Endpunkt heiße P.

  2. Zeichne zum Schenkel t die Parallele durch P.

  3. Schneide die Parallele mit dem Schenkel s. Der Schnittpunkt heiße A.

  4. Zeichne zur Geraden g die Parallele durch A.

  5. Schneide die Parallele mit dem Schenkel t. Der Schnittpunkt heiße B.

  6. Die Strecke [AB] ist die Lösung der Aufgabe.

Begründung: Das Viereck ABSP ist ein Parallelogramm mit einer Seitenlänge von a LE.

Quer durchs Parallelogramm

Eine Gerade "quer" durchs Parallelogramm, wie z.B. eine Diagonale, heißt eine Transversale.

Begründe, warum die Eckpunkte B und D des Parallelogramms ABCD von der Diagonalen durch A und C gleichen Abstand haben.

Für eine durch den Eckpunkt A des Parallelogramms ABCD und einen beliebigen Punkt X der Seite [CD] verlaufende Transversale gilt:

Der Abstand des Punktes B zur Transversalen ist die Summe der Abstände der Eckpunkte C und D von ihr.

Begründe dies.

Der "Trick" zur Begründung:

Lege durch die Ecke C die Parallele zur Transversalen.

Dann enthält die Zeichnung die beiden nach dem WSW-Satz kongruenten Dreiecke HBC und AXD, die in ihrer Höhe d übereinstimmen.Dazu ein Rechteck mit der Seitenlänge c.

Der Abstand b des Eckpunktes B von der Transversalen ist dann die Summe c+d.

Was gilt für die Teilaufgabe b, wenn X = D?

Was gilt, wenn X = C?

Bei beliebiger Lage von X auf [CD] gilt: %%b=c+d%%.

Wenn X = D, dann gilt:

Die Seite AD des Parallelogramms ist selbst Transversale. Der Eckpunkt D hat zu ihr den Abstand 0, d.h. %%d=0%%. Die Eckpunkte B und C des Parallelogramms haben zur Seite AD gleichen Abstand, d.h. es gilt %%b=c%%.

Wenn X = C, dann gilt:

%%c=0%%, und es gilt die Feststellung aus Teilaufgabe a, dass %%b=d%%.

Die allgemeine Beziehung %%b=c+d%% gilt also auch für die beiden Sonderlagen des Punktes X.

Im nachfolgenden Appplet kannst du durch Verschieben des Punktes X die einzelnen Abstandswerte ablesen und die Sonderlagen von X überprüfen.

Verwandlungskünste

Je weniger Eckpunkte eine geometrische Figur bei gleichbleibender Fläche hat, desto wünschenswerter ist dies oft.

Verwandle durch eine Konstruktion Parallelogramme so, dass jeweils ein flächengleiches Dreieck entsteht.

Verwandle das Parallelogramm ABCD mit den Eckpunkten %%A(0|0),\,B(4|0),\,C(7|2),\,D(3|2)%% unter Beibehaltung der Seite %%[AB]%% und des Innenwinkels %%\alpha%% in ein flächengleiches Dreieck.

%%\quad \quad \quad%%

Die Konstruktion:

Lege durch den Eckpunkt C die Parallele zur Diagonalen BD. Sie schneidet die Verlängerung der Parallelogrammseite [AD] im Punkt E.

E hat im Koordinatensystem die Koordinaten (6|4).

Das Dreieck %%\text{ABE}%% ist flächengleich zum Parallelogramm %%\text{ABCD}%%.

Begründung:

Die beiden Dreiecke %%\text{BCD}%% und %%\text{BDE}%% haben die gleiche Grundlinie und die gleiche Höhe, sind also flächengleich.

Die Konstruktion kannst du mit folgendem Applet nachvollziehen.

-

Verwandle das Parallelogramm %%\text{ABCD}%% mit den Eckpunkten %%A(0|0),\,B(4|0),\,C(3|2),\,D(-1|2)%% unter Beibehaltung der Parallelogrammseite%%\,[BC]%% und des Innenwinkels %%\beta%% in ein flächengleiches Dreieck.

%%\quad \quad%%

Die Konstruktion:

Lege die Parallele zur Parallelogramm-Diagonalen %%[AC]%% durch den Eckpunkt %%\text{D}%%. Sie schneidet die Verlängerung der Parallelogrammseite %%[AB]%% im Punkt %%\text{F}%%.

%%\text{F}%% hat im Koordinatensystem die Koordinaten %%(-4|0)%%.

Begründung der Konstruktion:

Die beiden Dreiecke %%\text{ACD}%% und %%\text{ACF}%% haben die gleiche Grundlinie %%[AC]%% und die gleiche Höhe, sind also flächengleich.

Du kannst die Konstruktion mit einem Applet nachvollziehen.

-

Geometrische Graffitis

Zur Verschönerung wird ein Parallelogramm %%\text{ABCD}%% auf drei verschiedene Weisen mit geometrischen Figuren besprüht. (Welches Graffiti würde dir als "Kunstwerk" am besten gefallen?)

Graffiti 1

Hier gilt:

%%\overline{BE}=2\cdot \overline{CE}%% und %%\overline{AF}=2\cdot\overline{FE}%%

Graffiti 2

Hier gilt:

%%\overline{AM}=\overline{MD}%% und %%\overline{ME}=2\cdot \overline {EC}%%

Graffiti 3

Hier gilt:

%%[EF]%% ist eine Mittelparallele im Parallelogramm und der Punkt %%H%% teilt diese im Verhältnis %%5\,:\,3%%. Der Punkt %%G%% teilt die Seite %%[DC]%% im Verhältnis %%3\,:\,1%%.

Schule dein Empfinden für Flächengrößen und entscheide ohne Rechnung, welche Aussage für das Graffiti 1 zutrifft.

Klicke die deiner Meinung nach zutreffende Aussage an.

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Prima, wenn du das erkannt hast. Beide Flächen unterscheiden sich ja um nicht sehr viel.

Ordne für das Graffiti 1 die Teilflächen der Größe nach und beweise, dass sie im Verhältnis %%2:3:4:9%% stehen.

Für die Flächenzerleung des Parallelogramms %%ABCD%% gilt:

$$\begin{align}\overline{BE}=2 \cdot \overline{CE}\\ \overline{AF} = 2\cdot \overline{FE}\end{align}$$

Hilfreiche Vorkenntnisse zum Beweis

Flächeninhalt des Parallelogramms

%%A_\text{Parallelogramm}=b\cdot h_b%%

Flächeninhalt des Dreiecks

%%\displaystyle A_\triangle =\frac{1}{2} \cdot g \cdot h%%

Der Strahlensatz

Werden zwei sich schneidende Strecken von zwei parallelen Geraden geschnitten, so sind die Teilverhältnisse auf den beiden Strecken gleich.

Für die gezeichnete Figur gilt:

%%\displaystyle \frac{h_1}{h_2} =\frac{2}{1}\quad\Rightarrow \quad h_1 =2\cdot h_2%%

Behauptung:

Der Größe nach geordnet stehen die vier Teildreiecke des Parallelogramms im Größenverhältnis $$\quad\quad\quad\quad\quad2:3:4:9$$

Der Beweis

Für %%A_ {\triangle ECD}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle ECD} =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}b\cdot h_b=\frac{1}{6}\cdot (b\cdot h_b) = \color{red}{\frac{1}{6}}\cdot A_\text{Parallelogramm}%%

Für %%A_{\triangle AED}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle AED}= \frac{1}{2}\cdot b\cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot(b\cdot h_b)=\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot A_{Parallelogramm}%%

Für %%A_{\triangle BEF}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle BEF}= \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}b\cdot\frac{1}{3}h_b=\frac{1}{9}\cdot(b\cdot h_b)=\color{red}{\frac{1}9}\cdot A_{Parallelogramm}%%

Für %%A_{\triangle ABF} gilt:%%

%%\begin{align}A_{\triangle ABF} &= A_{Parallelogramm}-A_{\triangle BEF}-A_{\triangle ECD}-A_{\triangle AFD}\\ \displaystyle A_{\triangle ABF}&=A_{Parallelogramm}-\frac{1}{9}\cdot A_{P.gramm}-\frac{1}{6}\cdot A_{P.gramm}-\frac{1}{2}\cdot A_{P.gramm}\\ A_{\triangle ABF}&=\color{red}{\frac{2}{9}}\cdot A_{Parallelogramm}\end{align}%%

Bringe zum direkten Vergleich der Flächen die Bruchteile %%\displaystyle \frac{1}{9},\,\frac{2}{9}\,,\frac{1}{6}\,,\frac{1}{2}%% auf den gemeinsamen Nenner %%18%% und ordne sie der Größe nach.

%%\displaystyle A_{\triangle BEF}=\frac{2}{18}\cdot A_{P.}\;<\;A_{\triangle ECD}=\frac{3}{18}\cdot A_{P.}\; <A_{\triangle ABF}=\frac{4}{18}\cdot A_{P.}\; <\; A_{\triangle AED}=\frac{9}{18}\cdot A_{P.}%%

Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:$$\quad\quad\quad2(\text{orange})\;:3(\text{lila})\;:4(\text{türkis})\;:9(\text{rot})$$

Anmerkungen zum Beweis

  1. Dass %%\Delta\, ABF%% doppelt so groß ist wie %%\Delta\,BEF%%, erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von %%B%% aus ist die Grundlinie doppelt so groß.

  2. Für diesen Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.

Alternativer Beweis

Dreiecksflächen

%%\Delta\,BEF%% habe bei seiner Grundlinie %%[EF]%% und der Höhe %%h_x%% den angenommenen Flächeninhalt %%x\,\text{FE}%%.

%%A_{\Delta\,BEF}=\color{red}{x}\,\text{FE}%%

%%\Delta\,ABF%% ist dann bei der gleichen Höhe %%h_x%% wegen der doppelten Grundlinienlänge %%[AF]%% auch doppelt so groß.

%%A_{\Delta\,ABF}=\color{red}{2x}\,\text{FE}%%

%%\Delta\,AB\color{red}{E}%% hat den Flächeninhalt %%\,x+2x=3x%%.

%%\Delta\,ECD%% ist halb so groß. Begründung: Halbe Grundlinie %%\frac{1}{3}b%% statt %%\frac{2}{3}b%% bei gleicher Höhe %%h_b%%.

%%A_{\Delta\,ECD}=\color{red}{1,5x}\,\text{FE}%%

%%\Delta\,AED%% ist wegen dreifacher Grundlinie und gleicher Höhe %%h_b%% dreimal so groß wie %%\Delta\,ECD%%.

%%A_{\Delta\,AED}=\color{red}{4,5x}\,\text{FE}%%

Der Größe nach geordnet stehen die vier Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:

%%\begin{align}A_{\Delta\,BEF}\,:\,A_{\Delta\,ECD}\,:\:A_{\Delta\,ABF}\,:\,A_{\Delta\,AED}&=x\;\;:\;1,5x\;:\;2x\;:\;4,5x \quad |\cdot 2\,:x \\ &=2\;:\;3\;:4\;:\;9\end{align}%%

Zusammenfassung

Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich unabhängig von der Form des Parallelogramms sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt %%C%% des Parallelogramms.

-

Ordne für das Graffiti 2 die Teilflächen der Größe nach und beweise, dass sie im Verhältnis %%1\,:\,2\,:\,3\,:\,6%% stehen.

Für die Flächenzerlegung des Parallelogramms %%ABCD%% gilt:

%%\overline{AM}=\overline{MD}%%

%%\displaystyle \overline{MD} = \frac{2}{3}\cdot\overline {EC}%%

Notwendige Vorkenntnisse zum Beweis

Flächeninhalt des Parallelogramms

$$A_{Parallelogramm} =b \cdot h_{b}$$

Flächeninhalt des Dreiecks

$$A_{\triangle}= \frac{1}{2} \cdot g\cdot h$$

Der Strahlensatz

Werden zwei Strecken von zwei parallelen Geraden geschnitten, so sind die Teilverhältnisse auf den bieden Strecken gleich.

Für die gezeichnete Figur gilt: $$\frac{h_1}{h_2}= \frac{2\,\text{LE}}{1\,\text{LE}}\quad \Rightarrow \quad h_1=2\cdot h_2$$

Behauptung

Der Größe nach geordnet stehen die vier Teildreiecke des Parallelogramms im Größenverhältnis: $$\quad \quad \quad \quad1\,:\,2\,:\,3\,:\,6$$

Der Beweis

Für %%A_{\triangle ABM}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle ABM}= \frac{1}{2} \cdot \frac {b}{2} \cdot h_b=\frac{1}{4}\cdot(b\ \cdot h_b)= \color{red}{\frac{1}{4}} \cdot A_{Parallelogramm}%%

Für %%A_{\triangle BCM}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle BCM}=\frac{1}{2} \cdot b\cdot h_b=\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot A_{Parallelogramm}%%

Für %%A_{\triangle MED}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle MED}=\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot h_b= \frac{1}{6}\cdot (b\cdot h_b)=\color{red}{\frac{1}{6}}\cdot A_{Parallelogramm}%%

Für %%A_{\triangle DEC}%%gilt:

%%\displaystyle \begin{align} A_{\triangle DEC} &= A_{P.gr.}-A_{\triangle ABM}-A_{\triangle BCM}- A_{\triangle MED}\\ &=A_{P.gr.}-\frac{1}{4} \cdot A_{P.gr.}-\frac{1}{2} \cdot A_{P.gr.}-\frac{1}{6}\cdot A_{P.gr.}\end{align}=\color{red}{\frac{1}{12}}\cdot A_{Parallelogramm}%%

Bringe zum direkten Vergleich der Flächen die Bruchterme$$\frac{1}{12}\;;\frac{1}{6}\;;\frac{1}{4}\;;\frac{1}{2}$$ auf den gemeinsamen Nenner%%12%% und ordne sie der Größe nach.

%%\displaystyle A_{\triangle DEC} =\frac{1}{12}\cdot A_{P.}\;<\;A_{\triangle MED}=\frac{2}{12}\cdot A_{P.}\;<\;A_{\triangle ABM}=\frac{3}{12}\cdot A_{P.}\;<\;A_{\triangle BCM}=\frac{6}{12}\cdot A_{P.}%%

Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:

$$\quad \quad \quad \quad 1\;(grün)\; :2\;(rot)\;:\;3\;(lila)\;:6\;(orange)$$

Anmerkungen zum Beweis

  1. Dass %%\Delta\,MED%% doppelt so groß ist wie %%\Delta\,DEC%% erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von %%D%% aus ist die Grundlinie doppelt so lang.

  2. Für den Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.

Alternativer Beweis

Dreiecksflächen

%%\Delta\,ECD%% habe bei der Grundlinienlänge %%[EC]%% und der Höhe %%h_x%% den angenommenen Flächeninhalt %%x\;\text{FE}%%.

%%A_{\Delta\,ECD}=\color{red}{x}\,\text{FE}%%

%%\Delta\,MED%% ist bei der gleichen Höhe %%h_x%% wegen der doppelten Grundlinienlänge %%[ME]%% doppelt so groß wie %%\Delta\,ECD%%.

%%A_{\Delta\,MED}= \color{red}{2x}\,\text{FE}%%

%%\Delta\,M\color{red}{C}D%% hat den Flächeninhalt %%x+2x=\color{red}{3x}\,\text{FE}.%%

%%\Delta\,AMB%% und %%\Delta\,MCD%% sind flächengleich wegen gleicher Grundlinienlänge %%\frac{1}{2}b%% und gleicher Höhe %%h_b%%.

%%A_{\Delta\,AMB}= \color{red}{3x}\,\text{FE}%%

%%\Delta\,BCM%% ist doppelt so groß wie %%\Delta\,AMB%% wegen der doppelt so großen Grundlinienlänge %%b%% bei gleicher Höhe %%h_b%%.

%%A_{\Delta\,BMC}= \color{red}{6x}\,\text{FE}%%

Der Größe nach geordnet stehen die Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:

%%\begin{align} A_{\Delta\,ECD}\;:\;A_{\Delta\,MED}\;:\;A_{\Delta\,AMB}\;:\;A_{\Delta\,BMC}&= \; x\;:\;2x\;:\;3x \;:\;6x\quad|:x\\ &=\,\,1\;:2\;:3\;:6\end{align}%%

Zusammenfassung

Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Teilverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt %%C%% des Parallelogramms.

-

Beweise, dass das Graffiti %%3%% drei gleich große Teilflächen enthält und die drei anderen im Verhältnis %%3\,:\,6\,:\,8%% stehen.

Für die Zerlegung des Parallelogramms %%ABCD%% gilt:

  1. Die Höhe %%[h_a] %% wird durch %%[EF]%% halbiert.

  2. %%\displaystyle \overline {DG}=\frac{3}{4}\cdot a\;\text{und}\;\overline {GC}= \frac{1}{4} \cdot a%%

  3. %%\displaystyle \overline {EH}=\frac{5}{8} \cdot a\;\text{und}\; \overline{HF}=\frac{3}{8} \cdot a%%

Hilfreiche Vorkenntnis zum Beweis:

Flächeninhalt des Trapezes $$\displaystyle A_{Trapez}=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

%%\quad \quad%%

$$\quad \quad \quad\displaystyle m=\frac{a+b}{2}$$

Behauptung

Drei Flächenteile sind flächengleich, die restlichen stehen im Verhältnis $$3\;:\;6\;:\;8$$

Der Beweis

Für %%A_{Trapez\,HFCG}%% gilt:

%%\begin {align}\displaystyle A_{Trapez}&=\frac{\frac{3}{8} \cdot a+ \frac{1}{4} \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot h_a\\ A_{Trapez}&= \frac{5}{32}\cdot (a\cdot h_a)=\color{red}{\frac{5}{32}}\cdot A_{P.gramm}\end {align}%%

Für %%A_{\triangle\,HGE}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle\,HGE}=\frac {1}{2}\cdot\frac{5}{8}a\cdot (\frac{1}{2}h_a)=\color{red}{\frac{5}{32}}\cdot A_{P.gramm}%%

Für %%A_{\triangle\,AEH}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle\,AEH}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{8}a \cdot (\frac{1}{2}h_a) = \color{red}{\frac{5}{32}} \cdot A_{P.gramm}%%

Damit sind die drei flächengleichen Teilflächen gefunden:

Das Trapez %%HFCG%% (türkis) und die Dreiecke %%HGE%% (orange) und %%AEH%% (rot) sind flächengleich.

Für %%A_{\triangle\,EGD}%%gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle\,EGD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}a \cdot(\frac{1}{2}h_a)=\color{red}{\frac{3}{16}}\cdot A_{P.gramm}%%

Für %%A_{\triangle\,ABH} gilt:%%

%%\displaystyle A_{\triangle\,ABH}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (\frac{1}{2}h_a)=\color{red}{\frac{1}{4}}\cdot A_{P.gramm}%%

Für %%A_{\triangle\ BFH}%% gilt:

%%\displaystyle A_{\triangle\ BFH}=\frac{1}{2} \cdot\frac{3}{8}a \cdot (\frac{1}{2}h_a)= \color{red}{\frac{3}{32}} \cdot A_{P.gramm}%%

Bringe zum direkten Vergleich der Dreiecke die Bruchteile $$\frac{3}{16},\;\frac{1}{4},\;\frac{3}{32}$$ auf den gemeinsamen Nenner %%32%% und ordne der Größe nach.

%%\displaystyle A_{\triangle\, BFH}=\frac{3}{32} \cdot A_{P.gramm}\;<\; A_{\triangle\,EGD}=\frac{6}{32}\cdot A_{P.gramm}\;<\; A_{\triangle\,ABH}=\frac{8}{32}\cdot A_{P.gramm}%%

Damit stehen die restlichen Dreiecke des Parallelogramms in folgendem Verhältnis: $$3\,(\text{grün})\;:\;6\;\text{(lila)}\;:\;8\;\text{(braun)}$$

Anmerkungen zum Beweis

  • Auf die Berechnung des Flächenteils des Trapezes kann man auch verzichten (wenn man z.B. die Flächenformel für das Trapez doch nicht kennt!), indem man die Flächenanteile aller fünf Dreiecke addiert und die Summe vom Flächenteil %%1%% (des Parallelogramms) abzieht. Allerdings erkennt man auf diese Weise die drei gleich großen Flächen erst am Schluss.

  • Zum Beweis wird die Form und die Größe des Parallelogramms nicht benötigt. Am nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt %%C%% des Parallelogramms.

-

Die Ordnungskraft der Mittelpunkte

%%ABCD%% sei ein allgemeines Viereck ohne jede Besonderheit. Es seien also Seiten weder parallel noch gleich lang.

Verbindet man die Mittelpunkte der Vierecksseiten zu einem neuen Viereck, seinem "Mittelpunktsviereck", so ist dieses stets ein Parallelogramm.

Ganz erstaunlich - oder nicht?

Begründe die "Ordnungskraft" der Seitenmittelpunkte eines Vierecks. Erkläre also, warum das Mittelpunktsviereck eines beliebigen Vierecks stets ein Parallelogramm ist.

In der Strahlensatzfigur %%ADC%% (Teildreieck des Vierecks %%ABCD%%) teilen die Mittelpunkte die Strahlen %%[DA%% und %%[DC%% im gleichen Verhältnis 1:1. Die Seite %%[M_1M_2]%% ist demnach parallel zu %%[AC]%%, der Diagonalen des Vierecks.

Gleiches gilt für die drei anderen Seiten des Mittelpunktsvierecks. Dessen Seiten sind somit paarweise parallel zu einer Diagonalen des Vierecks (und im Übrigen gerade halb so lang wie diese.)

Das Mittelpunktsviereck ist also stets ein Parallelogramm.

Da die Seiten des Mittelpunktsvierecks parallel zu den Diagonalen des ursprünglichen Vierecks sind, ist der spitze Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks so groß wie der spitze Winkel, in dem sich die Diagonalen des ursprünglichen Vierecks schneiden. Also gilt: %%\alpha=\beta%%.

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Quadraten? Begründe deine Antwort!

%%\quad \quad \quad \quad%%

Das Mittelpunktsviereck eines Quadrats ist wieder ein Quadrat.

Begründung:

Die Diagonalen des (ursprünglichen) Quadrats sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.

Damit sind die Seiten des Mittelpunktsvierecks auch gleich lang (halb so lang wie die ursprünglichen Diagonalen) und stehen aufeinander senkrecht.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Quadrats wieder ein Quadrat.

(Zusatz: Mit halb so großem Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.)

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rechtecken? Begründe deine Anwort!

%%\quad \quad \quad%%

Das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks ist eine Raute.

Begründung:

Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang, stehen aber nicht aufeinander senkrecht.

Damit sind die vier Seiten des Mittelpunktsvierecks gleich lang. Die Eckwinkel sind aber nicht 90°.

Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks eine Raute (und kein Quadrat.)

(Zusatz: Der Flächeninhalt der Raute ist halb so groß wie der des ursprünglichen Rechtecks.)

Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rauten? Begründe deine Anwort!

%%\quad \quad \quad%%

Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist ein Rechteck.

Begründung:

Die Diagonalen einer Raute stehen aufeinander senkrecht, sind aber nicht gleich lang.

Damit sind die Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks rechte Winkel und die Seiten paarweise verschieden lang.

Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist somit ein Rechteck.

(Zusatz: Der Flächeninhalt des Rechtecks ist halb so groß wie der der ursprünglichen Raute.)

Kommentieren Kommentare