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Aufgaben zur Berechnung von Längen im Koordinatensystem

1 Aufgabengruppe

Berechne die Länge der Strecke [AB]\left[AB\right].

A(2|8), B(2|2)

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Längen im Koordinatensystem

Koordinatensystem, Strecke parallel zur y-Achse

Trage die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Der Punkt A liegt höher als der Punkt B. Außerdem ist die Strecke [AB] parallel zur y-Achse, weil die Punkte A und B den gleichen x-Wert (Rechtswert) haben.

Berechne die Länge der Strecke [AB], indem du den y-Wert des unteren Punktes von dem y-Wert des oberen Punktes subtrahierst.

AB=yAyB\displaystyle \overline{AB} = y_A-y_B

Setze nun die y-Koordinaten von A und B ein.

AB=82=6\displaystyle \overline{AB} = 8-2=6

Antwort: die Strecke [AB] hat die Länge 6.

A(-3|-2), B(5|-2)

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Längen im Koordinatensystem

Trage die Punkte A und B in ein Koordinatensystem ein.

Koordinatensystem, Strecke parallel zur x-Achse

Der Punkt B liegt rechts von dem Punkt A. Außerdem ist die Strecke [AB] parallel zur x-Achse, da die beiden Punkte den gleichen y-Wert (Hochwert) haben.

Berechne die Länge der Strecke [AB], indem du den x-Wert des Punktes, der weiter links liegt (xAx_A), von dem x-Wert des Punktes, der weiter rechts liegt (xBx_B), subtrahierst.

AB=xBxA\displaystyle \overline{AB}=x_B-x_A

Setze die gegebenen x-Werte ein.

AB=5(3)=5+3=8\displaystyle \overline{AB}=5-(-3)\\= 5+3=8

Antwort: Die Strecke [AB] hat die Länge 8.

A(-2|3), B(1|-1)

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Längen im Koordinatensystem

Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.

koordinatensystem, Dreieck mit farbig markierter Hypotenuse

Berechne die Länge der Katheten. Die Kathete 1 ist parallel zur x-Achse und die Kathete 2 ist parallel zur y-Achse.

Kathete1=1(2)=3\displaystyle Kathete1=1-(-2)=3

Kathete2=3(1)=4\displaystyle Kathete2=3-(-1)=4

Wende den Satz des Pythagoras an. Die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse

a2+b2=c2\displaystyle a^2+b^2=c^2

c=a2+b2\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}

AB=32+42=25=5\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5

2 Aufgabengruppe

Berechne die Länge der Strecke [AB]\left[AB\right].

Koordinatensystem, Strecke parallel zur y-Achse
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Längen im Koordinatensystem

Lies die Koordinaten der Punkte A und B aus dem Koordinatensystem ab.

A (3|-1) und B (3|5)

Der Punkt B liegt höher als der Punkt A. Berechne nun die Länge der Strecke [AB], indem du den y-Wert des unteren Punktes A von dem y-Wert des oberen Punktes B subtrahierst.

AB=yByA\displaystyle \overline{AB}=y_B-y_A

Setze die gegebenen Koordinaten der Punkte ein.

AB=5(1)=5+1=6\displaystyle \overline{AB}=5-(-1)\\=5+1 =6

Antwort: Die gegebene Strecke hat die Länge 6.

Koordinatensystem, Strecke parallel zur x-Achse
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[Längen im Koordinatensystem ]()

Lies die Koordinaten der Punkte A und B aus dem Koordinatensystem ab.

A (4|3) und B (-3|3)

Der Punkt A liegt weiter rechts als der Punkt B. Außerdem ist die Strecke parallel zur x-Achse. Berechne die Länge von [AB], indem du den x-Wert von B von dem x-Wert von A subtrahierst.

AB=xAxB\displaystyle \overline{AB}=x_A-x_B

Setze die Koordinaten von A und B ein.

AB=4(3)=4+3=7\displaystyle \overline{AB}=4-(-3)\\=4+3=7

Antwort: Die Strecke [AB] hat die Länge 7.

Koordinatensystem, Strecke diagonal zur x- und zur y-Achse
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Längen im Koordinatensystem

Lies die Koordinaten der Punkte A und B aus dem Koordinatensystem ab.

A (6|5) und B (-2|2)

Die Länge der Strecke [AB] wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

Bild

Berechne zunächst die Längen der Katheten. Beachte dabei, dass Kathete 1 parallel zur x-Achse und Kathete 2 parallel zur y-Achse ist.

Kathete1=6(2)=6+2=8\displaystyle \overline{\text{Kathete1}}= 6-(-2)=6+2=8

Kathete2=52=3\displaystyle \overline{\text{Kathete2}}= 5-2=3

Berechne nun die Länge der Strecke [AB] mit dem Satz des Pythagoras.

(AB)2=(Kathete1)2+(Kathete2)2\displaystyle (\overline{AB})^2=(\overline{\text{Kathete1}})^2+(\overline{\text{Kathete2}})^2

Setze die errechneten Längen der Katheten ein.

(AB)2=82+32=64+9=73\displaystyle (\overline{AB})^2=8^2+3^2\\=64+9\\=73

Ziehe nun auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel

AB=73\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{73}

Antwort: Die Strecke [AB] hat die Länge 73\sqrt{73}.

3 Aufgabengruppe

Berechne die Längen der Strecken a,b,c und d

Koordinatensystem mit Dreieck
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Längen im Koordinatensystem

Bild

In der Grafik sieht man, dass die Seiten c und d parallel zu den Achsen liegen.

Da die Seite d parallel zur y-Achse ist, verwenden wir die Formel

d=CD=yobenyunten\displaystyle d=\overline{CD}=y_{oben}-y_{unten}
d=52=3\displaystyle d=5-2= 3

Die Seite c ist parallel zur x-Achse, also verwendet man die Formel

c=AB=xrechtsxlinks\displaystyle c=\overline{AB}=x_{rechts}-x_{links}
c=51=4\displaystyle c=5-1=4

Die Seiten a und b liegen nicht parallel zu den Achsen. Deshalb verwendet man Pythagoras, um die Längen zu berechnen.

a=BC=(xCxB)2+(yCyB)2\displaystyle a=\overline{BC}=\sqrt{(x_C-x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}

b=AC=(xCxA)2+(yCyA)2\displaystyle b=\overline{AC}=\sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}
a=32+32=32\displaystyle a=\sqrt{3^2 + 3^2}= 3\sqrt{2}

b=12+32=10\displaystyle b=\sqrt{1^2 + 3^2}= \sqrt{10}

Dreieck im Koordinatensystem mit eingetragenen Strecken
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Längen im Koordinatensystem

Bild

In der Grafik sieht man, dass die Seiten c und d parallel zu den Achsen liegen.

Da die Seite d parallel zur y-Achse ist, verwenden wir die Formel

d=CD=yobenyunten\displaystyle d=\overline{CD}=y_{oben}-y_{unten}
d=5(1)=6\displaystyle d=5-(-1)= 6

Die Seite c ist parallel zur x-Achse, also verwendet man die Formel

c=AB=xrechtsxlinks\displaystyle c=\overline{AB}=x_{rechts}-x_{links}

c=4-(-3)=7

Die Seiten a und b liegen nicht parallel zu den Achsen. Deshalb verwendet man Pythagoras, um die Längen zu berechnen.

a=BC=(xCxB)2+(yCyB)2\displaystyle a=\overline{BC}=\sqrt{(x_C-x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}

b=AC=(xCxA)2+(yCyA)2\displaystyle b=\overline{AC}=\sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}
a=(24)2+(5(1))2=4+36=210\displaystyle a=\sqrt{(2-4)^2 + (5-(-1))^2}= \sqrt{4+36}=2\sqrt{10}

b=(2(3)2+(5(1))2=25+36=61\displaystyle b=\sqrt{(2-(-3)^2 + (5-(-1))^2}= \sqrt{25 + 36}=\sqrt{61}