Aufgaben

Berechne die Länge der Strecke %%\left[AB\right]%%.

A(2|8), B(2|2)

Koordinatensystem, Strecke parallel zur y-Achse

Trage die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Der Punkt A liegt höher als der Punkt B. Außerdem ist die Strecke [AB] parallel zur y-Achse, weil die Punkte A und B den gleichen x-Wert (Rechtswert) haben.

Berechne die Länge der Strecke [AB], indem du den y-Wert des unteren Punktes von dem y-Wert des oberen Punktes subtrahierst.

%%\overline{AB} = y_A-y_B%%

Setze nun die y-Koordinaten von A und B ein.

%%\overline{AB} = 8-2=6%%

Antwort: die Strecke [AB] hat die Länge 6.

A(-3|-2), B(5|-2)

Trage die Punkte A und B in ein Koordinatensystem ein.

Koordinatensystem, Strecke parallel zur x-Achse

Der Punkt B liegt rechts von dem Punkt A. Außerdem ist die Strecke [AB] parallel zur x-Achse, da die beiden Punkte den gleichen y-Wert (Hochwert) haben.

Berechne die Länge der Strecke [AB], indem du den x-Wert des Punktes, der weiter links liegt (%%x_A%%), von dem x-Wert des Punktes, der weiter rechts liegt (%%x_B%%), subtrahierst.

%%\overline{AB}=x_B-x_A%%

Setze die gegebenen x-Werte ein.

%%\overline{AB}=5-(-3)\\= 5+3=8%%

Antwort: Die Strecke [AB] hat die Länge 8.

A(-2|3), B(1|-1)

Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.

koordinatensystem, Dreieck mit farbig markierter Hypotenuse

Berechne die Länge der Katheten. Die Kathete 1 ist parallel zur x-Achse und die Kathete 2 ist parallel zur y-Achse.

%%Kathete1=1-(-2)=3%%

%%Kathete2=3-(-1)=4%%

Wende den Satz des Pythagoras an. Die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse

%%a^2+b^2=c^2%%

%%c=\sqrt{a^2+b^2}%%

%%\overline{AB}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5%%

Berechne die Länge der Strecke %%\left[AB\right]%%.

Koordinatensystem, Strecke parallel zur y-Achse

Lies die Koordinaten der Punkte A und B aus dem Koordinatensystem ab.

A (3|-1) und B (3|5)

Der Punkt B liegt höher als der Punkt A. Berechne nun die Länge der Strecke [AB], indem du den y-Wert des unteren Punktes A von dem y-Wert des oberen Punktes B subtrahierst.

%%\overline{AB}=y_B-y_A%%

Setze die gegebenen Koordinaten der Punkte ein.

%%\overline{AB}=5-(-1)\\=5+1 =6%%

Antwort: Die gegebene Strecke hat die Länge 6.

Koordinatensystem, Strecke parallel zur x-Achse

[Längen im Koordinatensystem ]()

Lies die Koordinaten der Punkte A und B aus dem Koordinatensystem ab.

A (4|3) und B (-3|3)

Der Punkt A liegt weiter rechts als der Punkt B. Außerdem ist die Strecke parallel zur x-Achse. Berechne die Länge von [AB], indem du den x-Wert von B von dem x-Wert von A subtrahierst.

%%\overline{AB}=x_A-x_B%%

Setze die Koordinaten von A und B ein.

%%\overline{AB}=4-(-3)\\=4+3=7%%

Antwort: Die Strecke [AB] hat die Länge 7.

Koordinatensystem, Strecke diagonal zur x- und zur y-Achse

Lies die Koordinaten der Punkte A und B aus dem Koordinatensystem ab.

A (6|5) und B (-2|2)

Die Länge der Strecke [AB] wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

Berechne zunächst die Längen der Katheten. Beachte dabei, dass Kathete 1 parallel zur x-Achse und Kathete 2 parallel zur y-Achse ist.

%%\overline{\text{Kathete1}}= 6-(-2)=6+2=8%%

%%\overline{\text{Kathete2}}= 5-2=3%%

Berechne nun die Länge der Strecke [AB] mit dem Satz des Pythagoras.

%%(\overline{AB})^2=(\overline{\text{Kathete1}})^2+(\overline{\text{Kathete2}})^2%%

Setze die errechneten Längen der Katheten ein.

%%(\overline{AB})^2=8^2+3^2\\=64+9\\=73%%

Ziehe nun auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel

%%\overline{AB}=\sqrt{73}%%

Antwort: Die Strecke [AB] hat die Länge %%\sqrt{73}%%.

Berechne die Längen der Strecken a,b,c und d

Koordinatensystem mit Dreieck

In der Grafik sieht man, dass die Seiten c und d parallel zu den Achsen liegen.

Da die Seite d parallel zur y-Achse ist, verwenden wir die Formel $$d=\overline{CD}=y_{oben}-y_{unten}$$

$$d=5-2= 3$$

Die Seite c ist parallel zur x-Achse, also verwendet man die Formel $$c=\overline{AB}=x_{rechts}-x_{links}$$

$$c=5-1=4$$

Die Seiten a und b liegen nicht parallel zu den Achsen. Deshalb verwendet man Pythagoras, um die Längen zu berechnen.

$$a=\overline{BC}=\sqrt{(x_C-x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}$$ $$b=\overline{AC}=\sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$$

$$a=\sqrt{3^2 + 3^2}= 3\sqrt{2}$$ $$b=\sqrt{1^2 + 3^2}= \sqrt{10}$$

Dreieck im Koordinatensystem mit eingetragenen Strecken

In der Grafik sieht man, dass die Seiten c und d parallel zu den Achsen liegen.

Da die Seite d parallel zur y-Achse ist, verwenden wir die Formel $$d=\overline{CD}=y_{oben}-y_{unten}$$

$$d=5-(-1)= 6$$

Die Seite c ist parallel zur x-Achse, also verwendet man die Formel $$c=\overline{AB}=x_{rechts}-x_{links}$$

c=4-(-3)=7

Die Seiten a und b liegen nicht parallel zu den Achsen. Deshalb verwendet man Pythagoras, um die Längen zu berechnen.

$$a=\overline{BC}=\sqrt{(x_C-x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}$$ $$b=\overline{AC}=\sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$$

$$a=\sqrt{(2-4)^2 + (5-(-1))^2}= \sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$$ $$b=\sqrt{(2-(-3)^2 + (5-(-1))^2}= \sqrt{25 + 36}=\sqrt{61}$$

Kommentieren Kommentare