Aufgaben
Die Cheops-Pyramide hat ungefähr die Länge 230m, die Breite 230m und die Höhe 139m. Wie groß ist ihr Volumen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Gegeben: l=230ml=230\,\mathrm m b=230mb=230\,\mathrm m h=139mh=139\,\mathrm m
Gesucht: V=?V={?}
Du brauchst die Formel für das Volumen einer Pyramide.
V=13Gh\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h
Das ist die Formel für eine Pyramide. In diese Formel kannst du dann die Zahlen einsetzen.
V=13(230m)2139m\displaystyle V=\frac13\cdot(230\,\mathrm m)^2\cdot139\,\mathrm m
Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.
V=2451033m3\displaystyle V=2\,451\,033\,\mathrm m^3
In ländlichen Gebieten dürfen Gebäude nur 50m50 \, \mathrm{m} hoch sein, da man sonst eine spezielle Baugenehmigung braucht. Der Kirchturm ist bis zum Dach 30m30 \, \mathrm{m} hoch mit einer quadratischen Grundfläche von 3025dm23025 \, \mathrm{dm}^2. Das Gesamtvolumen des Kirchturms beträgt 1058,75m31058{,}75 \, \mathrm{m}^3.

Braucht die Gemeinde eine Sonderbaugenehmigung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Pyramide

Überlege dir zuerst aus welchen Figuren sich ein Turm zusammensetzt.

Tipp: Eine quadratische Grundfläche bedeutet, dass deine Seitenlängen gleich lang sind. Dazu ist es geschickt, alle Größen in eine gleiche Einheit zu bringen. Rechne daher die Quadratdezimeter dm2\mathrm{dm}^2 in Quadratmeter m2\mathrm{m}^2 um.

Gegebene Maße

  • Höhe bis zum Dach: 30m30 \, \mathrm{m}
  • Quadratische Grundfläche: 3025dm23025 \, \mathrm{dm}^2
  • Gesamtvolumen des Kirchturms: 1058,75m31058{,}75 \, \mathrm{m}^3
3025dm2=30,25m2\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2
Es gilt:Deswegen musst du dein Komma bei 3025,00dm3025{,}00 \, \mathrm{dm} um zwei Stellen nach links verschieben.
VQuader=Gh\displaystyle V_\mathrm{Quader} = G \cdot h
Setze die Werte aus der Angabe ein.
VQuader=30,25m230m\displaystyle V_\mathrm{Quader} = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2 \cdot 30 \, \mathrm{m}
Beachte, dass sich die Einheiten multiplizieren: m2m=m3\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{m} = \mathrm{m}^3.
VQuader=907,5m3\displaystyle V_\mathrm{Quader} = 907{,}5 \, \mathrm{m}^3

3. Schritt: Berechne das Volumen des Daches

Das Gesamtvolumen lässt sich aus dem Volumen des Daches und des Quaders berechnen. Dazu muss man diese addieren.
Vgesamt=VDach+VQuader\displaystyle V_\mathrm{gesamt} = V_\mathrm{Dach} + V_\mathrm{Quader}
Stelle nach VDachV_\mathrm{Dach} um.
VDach=VgesamtVQuader\displaystyle V_{\mathrm{Dach}}=V_{\mathrm{gesamt}}-V_{\mathrm{Quader}}^{ }
Setze die Werte aus der Angabe ein.
VDach=1058,75m3907,5m3\displaystyle V_\mathrm{Dach} = 1058{,}75 \, \mathrm{m}^3 - 907{,}5 \, \mathrm{m}^3
VDach=151,25m3\displaystyle V_\mathrm{Dach} = 151{,}25 \, \mathrm{m}^3
Das Dach ist eine Pyramide. Stelle die Volumenformel für die Pyramide auf.
VDach=13GhDach\displaystyle V_\mathrm{Dach} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_\mathrm{Dach}
Stelle nach hDachh_\mathrm{Dach} um, indem du erst auf beiden Seiten durch GG teilst und anschließend mit 33 multiplizierst, um den Bruch wegzubekommen.
3VDachG=hDach\displaystyle 3 \cdot \frac{V_\mathrm{Dach}}{G} = h_\mathrm{Dach}
Setze die Werte aus der Angabe ein.
hDach=3151,25m330,25m2\displaystyle h_\mathrm{Dach} = 3 \cdot \frac{151{,}25 \, \mathrm{m}^3}{30{,}25 \, \mathrm{m}^2}
hDach=15m\displaystyle h_\mathrm{Dach} = 15 \, \mathrm{m}
Die Höhe des Daches beträgt 15m15 \, \mathrm{m}.

5. Schritt: Bestimme die Gesamthöhe

Die Gesamthöhe setzt sich aus der Höhe des Quaders und des Daches zusammen. Dazu muss man diese addieren.
hgesamt=hQuader+hDach\displaystyle h_{\mathrm{gesamt}}=h_{\mathrm{Quader}}+h_{\mathrm{Dach}}^{ }
Setze die Werte aus der Angabe ein.
hgesamt=30m+15m\displaystyle h_\mathrm{gesamt} = 30 \, \mathrm{m} + 15 \, \mathrm{m}
hgesamt=45m\displaystyle h_\mathrm{gesamt} = 45 \, \mathrm{m}
Die Gesamthöhe des Kirchturmes beträgt 45m45 \, \mathrm{m}. Deswegen braucht die Gemeinde keine spezielle Baugenehmigung.
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