Ein Weißbierglas hat bis zur Eichmarkierung eine Füllhöhe von h=15  cmh = 15 \;\text{cm}. Außerdem hat es den maximalen Durchmesser d1=7,5  cmd1 = 7,5 \; \text{cm} und den minimalen Durchmesser d2=4,5  cmd2 = 4,5 \; \text{cm}.

Schätze mit diesen Zahlen das wahre Volumen des Gefäßinhaltes nach oben und nach unten ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Die Idee der Aufgabe ist es, das Volumen des komplizierten Weißbierglases mittels zweier Zylinder nach oben und nach unten abzuschätzen. Dadurch erhältst du eine erste Näherung an das wahre Volumen.

Abschätzung nach oben


Ein Zylinder mit der Höhe hh und dem Durchmesser d1d1 hat ein größeres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
VWeißbierglasVZylinder mit Durchmesser d1\displaystyle V_{\text{Weißbierglas}}\le V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}_{ }}

Abschätzung nach unten

Ein Zylinder mit der Höhe hh und dem Durchmesser d2d2 hat ein kleineres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
VWeißbierglasVZylinder mit Durchmesser d2\displaystyle V_{\text{Weißbierglas}} \geq V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}}

Berechnung der Zylindervolumen

Nun musst du nur noch die Volumen der beiden Zylinder bestimmen. Dafür verwendest du jeweils die Zylinderformel V=r2πhV = r^2\cdot\pi\cdot h und die Beziehung d=r2d = \frac{r}2:
VZylinder mit Durchmesser d1=(d12)2πh=(7,52)2π15  cm3663  cm3=0.663  l\displaystyle V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}} = (\frac{d1}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{7,5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3}\approx 663 \;\mathrm{cm^3} = 0.663 \;\mathrm{l}
VZylinder mit Durchmesser d2=(d22)2πh=(4,52)2π15  cm3239  cm3=0.239  l\displaystyle V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}} = (\frac{d2}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{4,5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3} \approx 239 \;\mathrm{cm^3} = 0.239\;\mathrm{l}

Volumen Weißbierglas

Für das Volumen des Weißbierglases bis zur Eichmarkierung gilt also:
0.239  lVWeißbierglas0.663  l\displaystyle 0.239 \;\mathrm{l} \leq V_{\text{Weißbierglas}} \leq 0.663 \;\mathrm{l}