Quader
Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle für einen Quader mit Länge aa, Breite bb und Höhe hh.

$$$$

Länge a

Breite b

Höhe h

Volumen V

Oberfläche O

a)

%%5\;\text{cm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%8\;\text{cm}%%

b)

%%3\;\text{cm}%%

%%1\;\text{cm}%%

%%9\;\text{cm}%%

c)

%%3\;\text{cm}%%

%%4\;\text{cm}%%

%%120\;\text{cm}^3%%

d)

%%7\;\text{m}%%

%%18\;\text{m}%%

%%652\;\text{m}^2%%

e)

%%4\;\text{dm}%%

%%60\;\text{dm}^3%%

%%94\;\text{dm}^2%%

f)

%%20\;\text{cm}%%

%%1\;\text{m}%%

%%100000\;\text{cm}^3%%

g)

%%7\;\text{mm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%1900\;\text{mm}^2%%

Knobelaufgaben:

$$$$

Länge a

Breite b

Höhe h

Volumen V

Oberfläche O

h)

%%x%%

%%x^2%%

%%y%%

i)

%%1\;\text{m}%%

%%30\;\text{m}^3%%

%%25\;\text{m}^2%%

i) Für einen Quader sollen folgende Angaben gegeben sein: Höhe h=1mh=1\text{m}, Volumen V=303V=30^3 und Oberfläche O=25m2O=25\text{m}^2. Kannst du mit diesen Angaben die Länge aa und Breite bb des Quaders bestimmen?

j) Wenn ein Quader ein Volumen V=1cm3V=1\text{cm}^3 hat, kann dann sein Oberflächeninhalt O=0,8cm2O=0,8 \text{cm}^2 betragen? Begründe deine Antwort.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächeninhalts eines Quaders

In diesen Teilaufgaben soll man die Formeln zur Berechnung des Volumens eines Quaders und des Oberflächeninhalts eines Quaders geeignet umstellen, um die fehlenden Werte in der Tabelle zu berechnen.
Das Volumen eines Quaders berechnet man über
VQuader= abh\displaystyle V_{Quader}=\ a\cdot b\cdot h
Der Oberflächeninhalt des Quaders kannst du über folgende Formel bestimmen:
OQuader= 2ab+2ah+2bh\displaystyle O_{Quader}=\ 2ab+2ah+2bh

Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sollst du das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.
VQuader=abh=5cm2cm8cm=80  cm3V_{Quader}= a \cdot b \cdot h = 5 \text{cm}\cdot 2 \text{cm}\cdot 8 \text{cm} = 80\;\text{cm}^3
OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}= 2ab + 2ah + 2bh 
=25cm2cm+25cm8cm+22cm8cm=132cm2= 2 \cdot 5 \text{cm} \cdot 2 \text{cm}+ 2\cdot 5 \text{cm} \cdot 8 \text{cm}+2 \cdot2 \text{cm} \cdot 8 \text{cm} = 132 cm^2
Der Quader hat das Volumen VQuaderV_{Quader} 80cm380 \text{cm}^3. Sein Oberflächeninhalt OQuaderO_{Quader} beträgt 132cm2132 \text{cm}^2.

Teilaufgabe b)

In dieser Teilaufgabe sollst du ebenfalls das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.
VQuader=abh=3cm1cm9cm=27  cm3V_{Quader}= a \cdot b \cdot h =3 \text{cm}\cdot 1 \text{cm}\cdot 9 \text{cm} = 27\;\text{cm}^3
OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}= 2ab + 2ah + 2bh 
=23cm1cm+23cm9cm+21cm9cm=78cm2= 2 \cdot 3 \text{cm} \cdot 1 \text{cm}+ 2\cdot 3 \text{cm} \cdot 9 \text{cm}+2 \cdot 1 \text{cm} \cdot 9 \text{cm} = 78 cm^2
Der Quader hat das Volumen VQuaderV_{Quader} 27cm327 \text{cm}^3. Der Oberflächeninhalt OQuaderO_{Quader} beträgt 78cm278 \text{cm}^2.

Teilaufgabe c)

Hier sollst du nun die Breite des Quaders bb und seine Oberfläche OQuaderO_{Quader} berechnen.

Du hast hierfür bereits das Volumen VQuaderV_{Quader} =120cm3=120\text{cm}^3, die Länge aa =3cm=3\text{cm} und die Höhe hh =4cm4 \text{cm} des Quaders gegeben.
Schritt 1: Gegebene Größen in die Volumenformel für den Quader einsetzen
VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b\cdot h
120cm3=3cmb4cm120 \text{cm}^3 =3 \text{cm} \cdot b \cdot 4 \text{cm}
Schritt 2: Löse die Formel nach bb auf
120cm3=3cmb4cm120 \text{cm}^3 =3 \text{cm}\cdot b\cdot 4 \text{cm} |:4cm:4\text{cm}
30cm2=3cmb30 \text{cm}^2 =3 \text{cm}\cdot b |:3cm:3\text{cm}
b=10cmb= 10 \text{cm} 
Der Quader hat also die Breite b=10cmb = 10\text{cm}.
Schritt 3: Nun kannst du auch die Oberfläche berechnen OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh
=23cm10cm+23cm4cm+210cm4cm=164cm2=2\cdot 3 \text{cm} \cdot 10 \text{cm}+ 2\cdot 3 \text{cm} \cdot 4 \text{cm}+2 \cdot 10 \text{cm} \cdot 4 \text{cm} = 164\text{cm}^2
Der Quader hat den Oberflächeninhalt OQuader=164cm2O_{Quader}=164\text{cm}^2.

Teilaufgabe d)

Bei dieser Teilaufgabe sollst du sowohl die Länge, als auch das Volumen des Quaders berechnen.
Du hast hierfür die Breite bb =7m=7\text{m}, die Höhe hh =18m18 \text{m} und die Oberfläche OQuaderO_{Quader} =652m2=652\text{m}^2 des Quaders gegeben.
Schritt 1: Gegebene Einheiten in die Oberflächen Formel einsetzen
OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh
652m2=2a7m+2a18m+27m18m652 \text{m}^2=2a \cdot 7\text{m}+ 2a \cdot18 \text{m} +2 \cdot 7 \text{m} \cdot 18 \text{m}

Schritt 2: Löse die Formel nach aa auf
652m2=14a+36a+252m²652 \text{m}^2=14a + 36a+252m² |252-252
400m2=50a400 \text{m}^2 =50 a |:50:50
a=8ma=8 \text{m} 

Die Länge des Quaders aa beträgt 8m8 \text{m}.

Schritt 3: Da du die Länge aa jetzt weißt, kannst du das Volumen berechnen.VQuader=abh=8m7m18cm=1008  m3V_{Quader}=a\cdot b\cdot h=8 \text{m}\cdot 7 \text{m}\cdot 18 \text{cm} = 1008\;\text{m}^3
Der Quader hat das Volumen VQuader=1008m3V_{Quader}= 1008 \text{m}^3.


Teilaufgabe e)

Bei dieser Teilaufgabe sind Breite bb und Höhe hh gesucht. Der Rest ist gegeben. Eine Möglichkeit ist, probieren.
Schritt 1: Man sollte das Volumen VQuaderV_{Quader} durch die Länge 4dm4dm teilen.
VQuader:a=60dm3:4dm=15dm2V_{Quader} : a = 60dm^3 : 4dm =15dm^2
Schritt 2: Aus welchen 2 Zahlen könnte 1515 das Produkt sein? Das ist 33 und 55. Also VQuader=abh=60dm3=4dm3dm5dmV_{Quader} =a \cdot b \cdot h =60dm^3 = 4dm \cdot 3dm \cdot 5dm
Schritt 3: Überprüfe die ausprobierten Zahlen mit der Oberfläche OQuaderO_{Quader}:OQuader=2ab+2ah+2bh=O_{Quader} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h =
94dm2=24dm3dm+24dm5dm+23dm5dm94dm^2 =2 \cdot 4dm \cdot 3dm + 2 \cdot 4dm \cdot 5dm + 2 \cdot 3dm \cdot 5dm
94dm2=212dm2+220dm2+215dm294dm^2 = 2\cdot 12dm^2 + 2\cdot 20dm^2 +2 \cdot 15dm^2
94dm2=24dm2+40dm2+30dm294dm^2 = 24dm^2 + 40dm^2 + 30dm^2
94dm2=94dm294dm^2 = 94dm^2
Also stimmen b=3dmb = 3dm und h=5dmh = 5dm oder b=5dmb = 5dm und h=3dmh = 3dm.
Lösungsweg 2 (nur für Fortgeschrittene):
Lösen durch ein Gleichungssystem
(Die Einheiten werden hier zur Vereinfachung weggelassen)
Schritt 1: Stelle das Gleichungssystem auf
I4bh=60\mathbf I \hspace {1cm} 4\cdot b \cdot h = 60
II24b+24h+2bh=94\mathbf I\mathbf I \hspace {1cm} 2 \cdot 4 \cdot b + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 94
Schritt 2: Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf
I4bh=60\mathbf I \hspace {1cm} 4 \cdot b \cdot h = 60 |:4:4
bh=60:4=15b \cdot h = 60 : 4 =15 |:h: h
Ib=15h\mathbf I^* \hspace{1cm}b = \frac {15} {h} 
II24b+24h+2bh=94\mathbf I\mathbf I \hspace {1cm} 2 \cdot 4 \cdot b + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 94
Schritt 3: Setze die umgeformte Gleichung in die andere ein und nach hh umformen.
IinIIeinsetzten:\mathbf I^* in \mathbf I \mathbf I einsetzten:
II2415h+24h+215hh=94\mathbf I\mathbf I^* \hspace {1cm} 2 \cdot 4 \cdot \frac {15} {h} + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot \frac {15} {h} \cdot h = 94
120h+8h+30=94\frac {120} {h} + 8h + 30 = 94 |30-30
120h+8h=64\frac {120} {h} + 8h = 64 |h\cdot h
120+8h=64h120 + 8h = 64h | 64h-64h
120+8h264h=0120+8h^2 - 64h=0 |:8:8
h28h2+15=0h^2-8h^2+15=0
Mit Mitternachtsformel lösen:
h1,2=8±(8)2411521h_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot15}}{2\cdot1}
h1,2=8±64602h_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-60}}{2}
h1,2=8±42h_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{4}}{2}
h1,2=8±22h_{1,2}=\frac{8\pm2}{2}
h1=8+22=102=5h_1=\frac{8+2}{2}=\frac{10}{2}=5
h1=5dm\Rightarrow h_1 = 5dm
h2=822=62=3h_2=\frac{8-2}{2}=\frac{6}{2}=3
h2=3dm\Rightarrow h_2=3dm
Schritt 4: h1h_1 und h2h_2 in I\mathbf I^*einsetzen
h1inIeinsetzen:h_1 in \mathbf I^* einsetzen:
b=155=3b = \frac {15} {5} = 3
b=3dm\Rightarrow b=3dm
h2inIeinsetzen:h_2 in \mathbf I^* einsetzen:
b=153=5b = \frac {15} {3} = 5
b=5dm\Rightarrow b=5dm


Teilaufgabe f)

In dieser Teilaufgabe wird die Höhe und die Oberfläche des Quaders gesucht. Gegeben ist die Länge aa =20cm=20\text{cm}, die Breite bb =1m=1\text{m} und das Volumen VQuaderV_{Quader} =100000cm3=100000\text{cm}^3.
Schritt 1: Alle Zahlen auf die selben Einheiten umrechnen a=20cma= 20 \text{cm}
b=1m100=100cmb=1 \text{m} \cdot 100= 100 \text{cm}
VQuader=100000cm3V_{Quader}= 100000 \text{cm}^3
Schritt 2: Die gegeben Einheiten in die Volumen Formel einsetzen VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b\cdot h 100000cm3=20cm100cmh100000 \text{cm}^3 =20 \text{cm} \cdot 100 \text{cm} \cdot h
Schritt 3: Löse die Formel nach h h auf
100000cm3=20cm100cmh100000 \text{cm}^3 =20 \text{cm}\cdot 100 \text{cm} \cdot h :100|:100
1000cm2=20cmh1000 \text{cm}^2= 20 \text{cm} \cdot h :20|:20
h=50cmh= 50 \text{cm}
Der Quader hat die Höhe hh =50cm=50\text{cm}.

Schritt 4: Jetzt kannst du die Oberfläche des Quaders berechnen OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh
=220cm100cm+220cm50cm+2100cm50cm=16000cm2=2\cdot 20 \text{cm} \cdot 100 \text{cm}+ 2\cdot 20 \text{cm} \cdot 50 \text{cm}+2 \cdot 100 \text{cm} \cdot 50 \text{cm} = 16000 \text{cm}^2
Der Oberflächeninhalt beträgt OQuaderO_{Quader} =16000cm2=16000\text{cm}^2.

Teilaufgabe g)

Hier ist jetzt die Länge und das Volumen gesucht. Die Breite bb =7mm=7\text{mm}.
Die Höhe hh 2cm 2\text{cm} und die Oberfläche OQuaderO_{Quader} =1900mm2=1900\text{mm}^2sind bereits gegeben.
Schritt 1: Alle Zahlen auf die selben Einheiten umrechnen b=7cmb= 7 \text{cm}
h=2cm10=20mmh= 2 \text{cm} \cdot 10 = 20 \text{mm}
OQuader=1900mm2O_{Quader}=1900 \text{mm}^2
Schritt 2: Alle gegeben Zahlen in die Oberflächen Formel einsetzen OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh
1900cm2=2a7mm+2a20mm+27mm20mm1900 \text{cm}^2=2a \cdot 7\text{mm}+ 2a \cdot20 \text{mm} +2 \cdot 7 \text{mm} \cdot 20\text{mm}
Schritt 3: Die Löse die Oberflächen Formel nach aa auf 1900mm2=2a7mm+2a20mm+27mm20mm1900 \text{mm}^2=2a \cdot 7\text{mm}+ 2a \cdot20 \text{mm} +2 \cdot 7 \text{mm} \cdot 20\text{mm}
1900mm2=14a+40a+280mm²1900\text{mm}^2=14 a + 40a+280mm² 280|-280mm²
1620mm2=54a1620 \text{mm}^2=54a :54|:54
a=30mma= 30 \text{mm}
Die Länge des Quaders liegt bei aa =30mm=30\text{mm}.
Schritt 4: Das Volumen des Quaders berechnen. VQuader=abh=30mm7mm20mm=4200  mm3V_{Quader}= a \cdot b \cdot h =30 \text{mm}\cdot 7 \text{mm}\cdot 20 \text{mm} = 4200\;\text{mm}^3
Der Quader hat das Volumen VQuaderV_{Quader} =4200cm3=4200\text{cm}^3.

Knobelaufgabe h)

Bei dieser Aufgabe soll sowohl das Volumen als auch die Oberfläche des Quaders berechnet werden. Die Besonderheit hierbei ist, dass du keine Zahlen sondern Variablen für die Länge aa =x=x, Breite bb =x2=x^2 und Höhe hh =y=y gegeben hast.
Schritt 1: Variablen in die Volumen Formel einsetzen VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b\cdot h VQuader=xx2yV_{Quader}=x\cdot x^2 \cdot y
Schritt 2: Berechnung des Volumens

Das Volumen liegt bei VQuaderV_{Quader} =x3y=x^3y
Schritt 3: Variablen in die Oberflächen Formel einsetzen OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh
OQuader=2xx2+2xy+2x2yO_{Quader}=2xx^2+2xy+2x^2y
Schritt 4: Berechnung der Oberfläche OQuader=2xx2+2xy+2x2yO_{Quader}=2xx^2+2xy+2x^2y .

Die Oberfläche hat den Flächeninhalt OQuader=2xx2+2xy+2x2yO_{Quader}=2xx^2+2xy+2x^2y .

Knobelaufgabe i)

In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge aa und die Breite bb berechnen. Hierfür hast du die Höhe hh = 1m1 \text{m}, das Volumen VQuaderV_{Quader} =30m3=30\text{m}^3 und den Oberflächeninhalt OQuaderO_{Quader} =25m2=25\text{m}^2 gegeben.
Schritt 1: Setze die gegebenen Zahlen in die Volumen Formel ein und vereinfache den Term soweit wie möglich
VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b\cdot h
 30m3=ab1m30 \text{m}^3=a\cdot b\cdot 1 \text{m} :1m|: 1 \text{m}
30m2=ab30 \text{m}^2=a\cdot b

Schritt 2: Setze die gegebenen Zahlen in die Oberflächeninhalt Formel ein und vereinfache den Term soweit wie möglich OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh 25m2=2ab+2a+2b25 \text{m}^2=2ab+2a+2b
Schritt 3: Vergleiche die Formeln miteinander
ab=30cm2ab=30\text{cm}^2
2ab+2a+2b=25cm22ab+2a+2b=25\text{cm}^2
Setze ab=30cm2ab=30\text{cm}^2 in die Formel für die Oberfläche ein.
60cm²+2a+2b=25m²60cm²+2a+2b=25m²
Schritt 4:
2a+2b=35cm2a+2b=-35cm.
Da die Maße für Länge und Breite nicht negativ sein können, führt dies zu einem Widerspruch.
 Daher gibt es in dieser Teilaufgabe keine Lösung!
Daher gibt es in dieser Teilaufgabe keine Lösung!

Knobelaufgabe i)

Angenommen das Volumen V beträgt 1m31\text{m}^3, dann heißt das:
V=abh=1  m3V=a \cdot b \cdot h = 1 \; \text{m}^3
Einer der Faktoren aa, bb oder hh muss kleiner als 2  m2\; \text{m} sein, weil sonst V=abh>2  m2  m2  m=8  m3V=a \cdot b \cdot h > 2 \; \text{m} \cdot 2 \; \text{m} \cdot 2 \; \text{m} = 8 \; \text{m}^3 gilt. Jedoch ist das Volumen 1  m31 \;\text{m}^3 und daher nicht grüßer als 8  m38\;\text{m}^3.
Also ist entweder aa, bb oder hh kleiner als 2  m2 \;\text{m}.
Angenommen h<2 mh<2\ \text{m}:
 0,8 =O = 2ab + 2ah + 2bh > 2ab > abc = 1 \Rightarrow\ 0,8\ =O\ =\ 2ab\ +\ 2ah\ +\ 2bh\ >\ 2ab\ >\ abc\ =\ 1\
Die Ungleichung führt uns zu einem Widerspruch und daher kann es keinen Quader mit dem angegebenen Volumen und Oberfläche geben.
Für die Fälle aa kleiner 2  m2 \;\text{m} und bb kleiner 2  m2\;\text{m} gilt das ebenfalls.

Komplette Lösung

$$$$

Länge a

Breite b

Höhe h

Volumen V

Oberfläche O

a)

%%5\;\text{cm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%8\;\text{cm}%%

%%90\ \text{cm}^3%%

%%132\ \text{cm}^2%%

b)

%%3\;\text{cm}%%

%%1\;\text{cm}%%

%%9\;\text{cm}%%

%%27\ \text{cm}^3%%

%%78\ \text{cm}^2%%

c)

%%3\;\text{cm}%%

%%10\ \text{cm}%%

%%4\;\text{cm}%%

%%120\;\text{cm}^3%%

%%164\ \text{cm}^2%%

d)

%%8\ \text{cm}%%

%%7\;\text{m}%%

%%18\;\text{m}%%

%%1008\ \text{cm}^3%%

%%652\;\text{cm}^2%%

e)

%%4\;\text{dm}%%

%%5\;\text{dm}%% oder %%3\;\text{dm}%%

%%3\;\text{dm}%% oder %%5\;\text{dm}%%

%%60\;\text{dm}^3%%

%%94\;\text{dm}^2%%

f)

%%20\;\text{cm}%%

%%1\;\text{m}%%

%%50\ \text{cm}%%

%%1000000\;\text{cm}^3%%

%%16000\ \text{cm}^2%%

g)

%%30\ \text{cm}%%

%%7\;\text{mm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%4200\ \text{cm}^3%%

%%1900\;\text{mm}^2%%

h)

%%x%%

%%x^2%%

%%y%%

%%x^3y^3%%

%%2xx^2+2xy+2x^2y^2%%

i) Es gibt keine Lösung.
j) Es gibt keine Lösung.