Aufgaben

Es ist Sommer und du kaufst ein Eis. Du erinnerst Dich, dass bei Eispackungen im Supermarkt die Menge an Eis in Litern angegeben ist. Das bringt Dich dazu, das Volumen in deiner Eistüte bestimmen zu wollen!

  1. Nach Deiner Messung ist die Eistüte %%16\,\text{cm}%% hoch und die Öffnung hat einen Durchmesser von %%6\,\text{cm}%%. Wie viel Liter Eis befinden sich darin?

  2. Wie groß müsste Deine Eistüte sein, um dasselbe Volumen fassen zu können wie eine Packung mit %%1%% Liter Eis?

Eistüte mit Hand

Teilaufgabe 1

Vorüberlegungen

Wenn Du den Rand deiner Eistüte betrachtest erkennst du einen Kreis. Die Spitze der Eistüte denkst Du dir als einen Punkt. Bei deiner Eistüte handelt es sich um einen Kegel.

Volumen eines Kegels

Du benötigst den Radius %%r%% und die Höhe %%h%% des Kegels. Die Höhe ist direkt gegeben und der Radius ist der halbe Durchmesser: $$h=16\,\text{cm} \\ r = 6\,\text{cm} :2 = 3\,\text{cm}$$

Berechne damit nun das Volumen. $$V_{Eistüte}=\dfrac{1}{3} \pi r^2 h= \dfrac{1}{3} \pi \cdot (3 \, \mathrm{cm^3})^2 \cdot 16 \,\mathrm{cm} \approx 150,8 \,\mathrm{cm^3}$$

Umrechnen von %%\text{cm}^3%% in Liter

Für das Umrechnen von Litern gilt %%1\,\text{l} = 1 \,\text{dm}^3%% und %%1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3%%

Beides zusammen ergibt

$$1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3 \\ \dfrac{1}{1000} \,\text{l} = 1 \,\text{cm}^3$$

Rechne damit das Volumen der Eistüte um.

$$V_{Eistüte}\approx 150,8 \,\text{cm}^3 = \dfrac{150,8}{1000} \,\text{l} = 0,1508 \,\text{l} \approx 0,15 \,\text{l}$$

In die Eistüte passen also etwa %%0,15%% Liter Eis.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegungen

Du kannst die Eistüte auf verschiedene Arten vergrößern. Du kannst

  • das Verhältnis von %%r%% und %%h%% so belassen wie bei deiner ursprünglichen Eistüte. Dabei würdest du %%r%% und %%h%% mit dem gleichen Faktor %%a%% multiplizieren, also %%r%% durch %%a\cdot r%% und %%h%% durch %%a \cdot h%% ersetzen.

  • das Verhältnis von %%r%% und %%h%% verändern und die Form deiner Eistüte verzerren. Zum Beispiel könntest du den dreifachen Radius %%3r%% und die halbe Höhe %%\dfrac{h}{2}%% nehmen.

Nimm hier an, dass du die ursprüngliche Form der Eistüte beibehalten möchtest.

Aufstellen einer Gleichung

Du kannst bereits das Volumen einer Eistüte berechnen, wenn du %%r%% und %%h%% kennst.

Nun ist der Radius und die Höhe der größeren Eistüte aber unbekannt. Du multiplizierst Höhe und Radius mit einer Zahl %%a%%, die du noch nicht kennst.

Du musst %%a%% so wählen, dass das Volumen genau %%1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3%% ist, was zu folgender Gleichung führt: $$V_{\text{große Eistüte}} = \dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) = 1000 \,\text{cm}^3 = 1 \,\text{l}$$

Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten

$$\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left|\quad \text{Vereinfache die linke Seite}\right. \\ \dfrac{\pi}{3} r^2h \cdot a^3 & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left| :(\dfrac{\pi}{3} rh) \right. \\ a^3 & = & \dfrac{3000 \, \text{cm}^3}{\pi r^2h} & \left| \quad\text{Ersetze }r\text{ und } h \text{ durch die Werte aus Teil 1} \right. \\ a^3 & = & \dfrac{3000\, \text{cm}^3}{\pi\cdot (3\,\mathrm{cm})^2\cdot 16\, \mathrm{cm}} & \\ a^3 & \approx & 6,63 & \left|\sqrt[3]{}\right. \\ a & \approx & 1,88& \end{array}$$

Also müsstest du dir deine Eiswaffel mit einem Volumen von %%0,15%% Litern etwas weniger als doppelt so breit und hoch vorstellen, um das Volumen auf %%1%% Liter zu erhöhen!

Du hast bald Geburtstag und möchtest coole Partyhüte basteln. Die Hüte sollen möglichst hoch sein, da das Motto deiner Party ist: "Je höher desto besser". Zunächst misst deine Mama den Umfang deines Kopfes, dieser beträgt %%66 \;\mathrm{cm}%%. Du entscheidest dich für eine Höhe von %%30 \;\mathrm{cm}%%.

Am Ende der Party darf jeder Gast seinen Hut mit Süßigkeiten füllen.
Wie schaffst du es, dass jeder gleich viel Platz für seine Süßigkeiten hat, wenn aber nicht alle den gleichen Kopfumfang haben?

Volumen eines Kegels

Wie gehst du vor?

Du musst dir überlegen wie alle den gleichen Platz für ihre Süßigkeiten bekommen.
Dies ist am fairsten, wenn alle Hüte das gleiche Volumen haben. Dazu musst du zuerst das Volumen deines Hutes ausrechnen.

Gegebene Maße

  • Dein Kopfumfang: %%U_{Du} = 66 \; \mathrm{cm}%%
  • Höhe des Hutes: %%h = 30\; \mathrm{cm}%%

$$U = 2 \cdot \pi \cdot r$$

Stelle nach %%r%% um.

$$r_{Du} = \frac{U_{Du}}{2 \cdot \pi}$$

Setze die Werte ein.

$$r_{Du} = \frac{66\;\mathrm{cm}}{2 \cdot \pi}$$

$$r_{Du} \approx 10,50 \;\mathrm{cm}$$

$$V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$$

Setze deine Werte ein und berechne das Volumen deines Hutes.

$$V_{Du} = \frac{1}{3} \cdot {(10,50 \; \mathrm{cm})}^2 \cdot \pi \cdot 30 \;\mathrm{cm} = \frac{1}{3} \cdot 110,25\;\mathrm{cm}^3\cdot \pi \cdot 30\;\mathrm{cm} = 1102,5\;\mathrm{cm^3} \cdot \pi$$ $$\approx 3463,61\; \mathrm{cm}^3$$

Dein Hut hat also ein Volumen von ungefähr %%3463,61\; \mathrm{cm}^3%%

Weiter geht es

… mit den Volumina der Hüte deiner Freunde. Wir wissen, dass alle das gleiche Volumen haben sollen.
Den Umfang der Köpfe kann man messen und damit den Radius bestimmen (siehe Schritt 1). Was fehlt jetzt noch in der Formel %%V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h%%?
Richtig, die Höhe!

$$V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$$

Stelle nach h um.

$$h = \frac {V_{Kegel} \cdot 3}{r^2 \cdot \pi}$$

Und fertig! :-)
Alles was du jetzt noch tun musst, ist das Volumen deines Hutes einsetzen, den Umfang der Köpfe deiner Freunde messen und den Radius ausrechnen und schon weißt du wie hoch der Hut deiner Freunde sein muss, damit jeder gleich viel Platz für seine Süßigkeiten hat.

Lösung: Man kann die Höhe der Hüte berechnen durch:$$h = \frac {3463,61\;\mathrm{cm^3} \cdot 3}{r^2 \cdot \pi}$$

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