Aufgaben

Welches Volumen hat ein %%4{,}5\, \mathrm{m}%% hohes Haus mit der Breite %%4\, \mathrm{m}%% und der Länge %%7\, \mathrm{m}%%, wenn das Dachgeschoss %%2 \, \mathrm{m}%% hoch ist?

Volumenberechnung

Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:

  • Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
  • oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).

In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.

Volumen des Quaders (unterer Hausteil)

Gegeben:
Länge des Quaders = %%7\, \mathrm{m}%%
Breite des Quaders = %%4\, \mathrm{m}%%

Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.

Höhe des Quaders = ?

Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses (%%4{,}5 \, \mathrm{m}%%) die Höhe des Dachs (%%2 \, \mathrm{m}%%) abziehst.

Höhe des Quaders = %%4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}%%

Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.

%%V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}%%

Volumen des Prismas (Dach)

Gegeben:
Länge des Dachs = %%7 \, \mathrm{m}%%
Breite des Dachs = %%4 \, \mathrm{m}%%
Höhe des Dachs = %%2 \, \mathrm{m}%%

Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.

%%G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}%%

Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.

%%V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}%%

Gesamtvolumen des Hauses

%%V_\text{Haus} = \ldots ?%%

Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

%%V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}%%

Antwort: Das Haus hat ein Volumen von %%98\, \mathrm{m^3}%%.

Filmon hat einen Blumenkasten.
Der Blumenkasten hat 100 cm Länge und 18 cm Höhe.
Unten ist er 15 cm breit und oben 20 cm.
Wie groß ist das Volumen des Blumenkastens?

$$\begin{array}{l}\mathrm V=?\\\mathrm V=\mathrm G\cdot h_\mathrm{Prisma}\end{array}$$

Der Blumenkasten ist ein Prisma. Deshalb brauchest du die Formel: $$\mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}$$

$$\mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Trapez}$$

Die Höhe %%h_\mathrm{Prisma}%% ist 100cm,
aber die Grundfläche hast du nicht in der Aufgabe angegeben.
Die Grundfläche ist ein Trapez. Deshalb musst du diese Formel benutzen um die Grundfläche zu finden: $$\mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot h_\mathrm{Trapez}$$

$$\mathrm G=\frac{20\;\mathrm{cm}+15\;\mathrm{cm}}2\cdot18\;\mathrm{cm}$$

$$\mathrm G=\frac{35\;\mathrm{cm}\;}2\cdot18\;\mathrm{cm}$$

$$\mathrm G=\frac{35\cdot18}2\mathrm{cm}^2$$

$$\mathrm G=17,5\;\mathrm{cm}\cdot18\;\mathrm{cm}=315\;\mathrm{cm}^2$$

$$\mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}$$

In diese Formel setzt du %%\mathrm G=315\;\mathrm{cm}^2%%
und %%{\mathrm h}_\mathrm{prisma}=100\;\mathrm{cm}\;\mathrm{ein}\;.%%

$$\begin{array}{l}\mathrm V=315\;\mathrm{cm}^2\cdot100\;\mathrm{cm}\\\mathrm V=31500\;\mathrm{cm}^3\end{array}$$

Ein Marmeladenglas hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck und ist (abgesehen vom Rand mit Schraubverschluss und Deckel) %%8\;\text{cm}%% hoch. Die Seitenlänge des Sechseckes ist %%3\;\text{cm}%%.

Wie viel Milliliter Marmelade passen in das Glas, wenn man es bis unter den Rand füllt?

Marmeladenglas

Volumenberechnung eines Prismas

Prisma, Sechseck

Das Marmeladenglas ist ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche.

%%V=G\cdot h_P%%

Das ist die Volumenformel eines Prismas.

Hier ist %%h_P=8\,\text{cm}%% und die Grundfläche %%G%% ist ein reguläres Sechseck mit Seitenlänge %%a=3\,\text{cm}%%.

Sechseck

Dieses Sechseck kannst du in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen.

Sechseck, Dreiecke

Warum sind die Dreiecke gleichseitig?

In einem Sechseck beträgt die Winkelsumme $$(6-2)\cdot 180° = 720°.$$ Da das Sechseck regulär ist, ist jeder Winkel gleich groß. Da %%\dfrac{720°}{6}=120°,%% handelt es sich um %%120°-%%Winkel.

Sechseck, Winkel

Im regelmäßigen Sechseck fallen die Diagonale und die Winkelhalbierende zusammen. Deshalb teilt eine Diagonale zwei gegenüberliegende %%120°-%%Winkel in jeweils zwei %%60°-%%Winkel.

Sechseck, Winkel, Diagonale

Zeichnet man alle Diagonalen ein, erhält man sechs Dreiecke.

Sechseck, Winkel, Diagonalen

Da in einem Dreieck die Winkelsumme %%180°%% beträgt, muss der letzte Winkel in jedem Dreieck auch %%60°=180°-2\cdot60°%% sein.

Sechseck, Diagonalen, Winkel

Damit sind in in einem Dreieck alle Winkel %%60°%% und deshalb sind die Dreiecke gleichseitig.

Dreieck

%%F=\dfrac{a\cdot h_D}{2}%%

Das ist die Flächenformel für das Dreieck.

%%h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}a%%

Mit dieser Formel kannst du die Höhe %%h_D%% im gleichseitigen Dreieck berechnen.

Herleitung der Formel

$$h_D^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=a^2$$

Das ist der Satz des Pythagoras. Mit Umformen erhältst du:

$$h_D^2 = a^2- \left( \dfrac{a}{2} \right)^2.$$

Nun kannst du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.

$$h_D = \sqrt{a^2- \left( \dfrac{a}{2} \right)^2}$$

Durch Vereinfachen erhältst du die oben genannte Formel.

$$h_D= \sqrt{\dfrac{4a^2-a^2}{4}}= \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt3}{2}a$$

Wenn du %%a=3\,\text{cm}%% in die Formel einsetzt, ergibt sich:

$$h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}$$

Das kannst du jetzt in die Flächenformel für das Dreieck einsetzen.

$$F=\dfrac{a\cdot h_D}{2}$$

$$=\dfrac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}$$

$$\approx 3,897\,\text{cm}^2$$

Sechseck, Dreiecke, Höhe

Jetzt kannst du die sechseckige Grundfäche %%G%% berechnen.

$$G=6\cdot F$$

$$= 6\cdot 3,897\,\text{cm}^2$$

$$= 23,382 \,\text{cm}^2$$

Mit %%h_P=8\,\text{cm}%% ergibt sich für das Volumen des Prismas:

$$V=G\cdot h_P$$

$$= 23,382 \,\text{cm}² \cdot 8\,\text{cm}$$

%%= 187,056 \, \text{cm}^3%%

Dieses Ergebnis gibst du noch in Milliliter an.

$$V=187,056\,\text{cm}^3= 187,056\,\text{ml} \approx 187\,\text{ml}$$

Antwort: In das Glas passen also etwa %%187\,\text{ml}%% Marmelade.

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