Aufgaben
Gib an, wie du das Volumen eines Quaders berechnen kannst.
Skizze eines Quaders
Dabei sollen aa und bb die Länge und Breite der Grundfläche sein und hh die Höhe des Quaders.
VQuader=a+b+hV_{Quader}=a+ b + h
VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b \cdot h
VQuader=hbaV_{Quader}=h\cdot b \cdot a
VQuader=ab+hV_{Quader}=a\cdot b + h

Berechnung vom Volumen des Quaders

Um das Volumen eines Quaders zu berechnen, musst du die Länge der Seiten der Grundfläche multiplizieren und mit der Höhe des Quaders malnehmen.
So erhältst du als die richtigen Antwortmöglichkeiten:
  • VQuader= ab hV_{Quader}=\ a\cdot b\ \cdot h und
  • VQuader= h b aV_{Quader}=\ h\ \cdot b\ \cdot a^{ }


Ein rechteckiger Wasserbehälter mit den Maßen %%0{,}8\,\mathrm{m}\cdot0{,}45\,\mathrm{m}\cdot1{,}5\,\mathrm{m}%% soll mit Wasser gefüllt werden.

Wie viel Liter kann er fassen?

%%V_\mathrm{Quader}=l\cdot b\cdot h%%

Setze die Werte ein.

%%V=0{,}8\,\mathrm m\cdot0{,}45\,\mathrm m\cdot1{,}5\,\mathrm m%%

%%V=0{,}54\,\mathrm m^3%%

Rechne %%\mathrm m^3%% in %%\mathrm{dm}^3%% um.

%%V=540\,\mathrm{dm}^3%%

Rechne %%\mathrm{dm}^3%% in Liter um.

%%V=540\,\mathrm l%%

%%\Rightarrow%% Der Wasserbehälter kann %%540\,\mathrm l%% fassen.

Sophia hat ein Aquarium.
Es hat 70 cm Länge und 50 cm Breite.
Sophia gießt 90 l Wasser ins Aquarium.
Wie hoch steht das Wasser?

Volumen eines Quaders

70 cm Länge
50 cm Breite
90 l Wasser

Länge mal Breite $$50\;\mathrm{cm}\cdot70\;\mathrm{cm}\;=\;3500\;\mathrm{cm}^2$$

Multipliziere um die Grundfläche aus zu rechnen

$$\begin{array}{l}\;\Rightarrow90\;\mathrm l\;=\;90\;\mathrm{dm}^3\\\;\Rightarrow90\;\mathrm{dm}^{3\;}\;=\;90000\;\mathrm{cm}^3\end{array}$$

Die 90 l rechnest du in %%\mathrm{cm}^3\;%% um

$$3500\;\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm h\;=\;90000\;\mathrm{cm}^3\;\vert:3500\;\mathrm{cm}^2$$

Aus dieser Gleichung kannst du h ausrechnen

$$3500\;\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm h\;:\;3500\;\mathrm{cm}^2\;=\;90000\;\mathrm{cm}^{3\;}:3500\;\mathrm{cm}\;^2$$

Teile %%90000%% %%\mathrm{cm}^3%% durch %%3500\;cm\;^2%%

h = 25,71428…cm $$\approx\;26\;\mathrm{cm}$$

Ein LKW ist von Madrid nach München unterwegs, um leckere Clementinen zu transportieren.

Um zu seinem Ziel zu gelangen, muss der LKW durch einen Tunnel fahren. Dieser Tunnel erlaubt nur Fahrzeuge, die eine maximale Höhe von %%3{,}8 \, \mathrm{m}%% haben.
Der LKW mit einem Volumen von %%90 \, \mathrm{m}^3%% ist %%13{,}6 \, \mathrm{m}%% lang und %%2{,}45 \, \mathrm{m}%% breit.

Passt er durch den Tunnel durch? Berechne die Höhe des LKWs auf eine Nachkommastelle genau!

Volumenberechnung beim Quader

Gegebene Maße

  • Volumen: %%90 \; \mathrm{m}^3%%
  • Länge: %%13,6 \; \mathrm{m}%%
  • Breite: %%2,45 \; \mathrm{m}%%

$$V_{LKW} = l \cdot b \cdot h$$

Stelle nach der Höhe (gesuchte Variable) um.

$$h = \frac{V_{LKW}}{l \cdot b}$$

Setze die Werte aus der Angabe ein.

$$h = \frac{90 \; \mathrm{m}^3}{13,6 \; \mathrm{m} \cdot 2,45 \; \mathrm{m}}$$

Beachte, dass sich die Einheiten wegkürzen: %%\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}} = m%%

$$h = 2,7 \; \mathrm{m}$$

Der LKW ist %%2,7 \; \mathrm{m}%% hoch und passt deswegen durch den Tunnel durch.

Der Supermarkt in Deutschland möchte wissen, wie viele Kisten mit der nächsten Ladung kommen. Eine Kiste ist %%0{,}5 \, \mathrm{m}%% hoch, %%0{,}3 \, \mathrm{m}%% breit und %%2 \, \mathrm{m}%% lang.

Wie viele Kisten passen in den LKW aus Teilaufgabe %%a)%% rein?

Volumen eines Quaders

Maße der Kisten

  • Höhe: %%0{,}5 \, \mathrm{m}%%
  • Breite: %%0{,}3 \, \mathrm{m}%%
  • Länge: %%2 \, \mathrm{m}%%

Volumen von einer Kiste

$$V_\mathrm{Kiste} = l \cdot b \cdot h$$

Werte aus der Angabe einsetzen

$$V_\mathrm{Kiste} = 2 \,\mathrm{m} \cdot 0{,}3 \, \mathrm{m} \cdot 0{,}5 \, \mathrm{m}$$

Beachte, dass sich die Einheiten multiplizieren: %%\mathrm{m} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{m} = \mathrm{m}^3%%

$$V_\mathrm{Kiste} = 0{,}3 \,\mathrm{m}^3$$

Das Volumen von einer einzigen Kiste beträgt %%0{,}3 \, \mathrm{m}^3%%.

Gesamtanzahl der Kisten

Du weißt aus der Teilaufgabe %%a)%% das Volumen des LKWs. Nun musst du ausrechnen, wie viele Kisten in dieses Volumen reinpassen. Die Anzahl der Kisten nennen wir %%x%%.
In den LKW passen %%x%% Kisten rein:

$$V_\mathrm{LKW} = V_\mathrm{Kiste} \cdot x$$

Stelle nach %%x%% um.

$$x = \frac{V_\mathrm{LKW}}{V_\mathrm{Kiste}}$$

Setze die Werte ein.

$$x = \frac{90 \, \mathrm{m}^3}{0{,}3 \, \mathrm{m}^3}$$

Beachte, dass sich deine Einheiten wegkürzen: %%\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{m}^3} = 1%%

$$x = 300$$

In den LKW passen %%300%% Kisten rein.

Der Umzugskarton hat die Länge %%60\;cm%%, die Breite %%30\;cm%% und die Höhe %%30\;cm%%

Berechne, wie viel in den Karton hineinpasst.

Umzugskarton

Beim Transport von Gütern ist es sinnvoll, den Laderaum möglichst genau auszunutzen. Für welches Volumen an Gütern ist der LKW aus dem Bild gebaut?

Der Durchmesser eines Rades beträgt etwa %%100\,\mathrm{cm}%% und die Frontscheibe ist %%2{,}50\,\mathrm m%% breit.

  1. Wie viel Liter Wasser könnte man mit dem LKW aus dem Bild transportieren?
  2. Kann man dasselbe Volumen auch mit Tischen und Stühlen komplett ausfüllen?

LKW

Vorüberlegungen

Berechne das Volumen des Laderaums. Dafür erkennst Du, dass der Laderaum ein Quader ist. Für sein Volumen benötigst Du also die drei Kantenlängen Höhe %%h%%, Länge %%l%% und Breite %%b%% des Quaders.

Schätzen der Maße

Du erkennst durch Einzeichnen weiterer Räder, dass der Quader etwa 3 Räder hoch und 5 Räder breit ist. Ein Rad ist %%100\, \textrm{cm}= 1\,\text{m}%% lang.

Berechnung durch Angabe

Daher berechne $$l = 5 \cdot 1\, \textrm{m} = 5\,\textrm{m}$$ $$h = 3 \cdot 1\, \textrm{m} = 3\,\textrm{m}$$ Zuletzt ist der Quader in etwa so breit wie die Frontscheibe, also weißt Du $$b = 2{,}5\,\textrm{m}$$

Berechnung des Volumens

Nach der Volumenformel für einen Quader multiplizierst Du diese drei Längen miteinander. $$V_\mathrm{Quader} = l\cdot h\cdot b = 5\,\textrm{m} \cdot 3\,\textrm{m} \cdot 2{,}5\,\textrm{m} = 37{,}5 \,\textrm{m}^3 =37\,500\,\mathrm{dm}^3$$

Um die Lademenge nicht zu überschätzen, nimmst Du an, dass der Laderaum etwa %%35\,000%% Liter fasst.

Anwendungen

  1. Wenn man den Laderaum mit Wasser füllen würde, könnte man etwa %%35\,000%% Liter transportieren.

  2. Tische und Stühle passen nicht lückenlos ineinander, sodass du weniger Material unterbringen kannst. Deshalb musst Du Dir beim Packen nicht nur überlegen, welche Maße die einzelnen Gegenstände haben, sondern auch, wie sie geschickt ineinander zu stapeln sind.

Bestimme die Anzahl der Einheitswürfel, die du benötigst, um den jeweiligen Körper vollständig auszufüllen.

Würfel 1

Versuch es nochmal und achte dabei auf die Aufgabenstellung. Du sollst die Anzahl der Einheitswürfel, die insgesamt in den großen Würfel rein passen, bestimmen.

Leider falsch, betrachte das Bild noch einmal genauer. Dann kannst du dir überlegen, ob ein Einheitswürfel versteckt unter andere Einheitswürfel liegt.

Versuch es nochmal und achte dabei auf die Aufgabenstellung. Du sollst die Anzahl der Einheitswürfel, die insgesamt in den großen Würfel rein passen, bestimmen.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

In einer Reihe zählst du %%4%% Einheitswürfel.

In einer Schicht gibt es %%4%% Reihen mit jeweils %%4%% Einheitswürfel. Insgesamt passen also %%4 \cdot 4 = 16%% Einheitswürfel in einer Schicht.

Im Würfel zählst du %%4%% Schichten mit jeweils %%16%% Einheitswürfel. Insgesamt passen somit %%4 \cdot 16 = 64%% Einheitswürfel im großen Würfel.

Die Antwort "%%64%% Einheitswürfel" ist also richtig.

Würfel 2

Versuch es nochmal, und achte dabei, dass du die Anzahl der Schichten richtig zählst.

Versuch es nochmal, und achte dabei, dass du die Anzahl der Schichten richtig zählst.

Das ist leider falsch. Schau nochmal genau hin, ein Einheitswürfel hat sich nämlich hinter den anderen versteckt.

Das ist richtig!

In einer Reihe zählst du %%5%% Einheitswürfel.

In einer Schicht gibt es %%5%% Reihen mit jeweils %%5%% Einheitswürfel. Insgesamt passen also %%5 \cdot 5 = 25%% Einheitswürfel in einer Schicht.

Im Würfel zählst du %%5%% Schichten mit jeweils %%25%% Einheitswürfel. Insgesamt passen somit %%5 \cdot 25 = 125%% Einheitswürfel im großen Würfel.

Die Antwort "%%125%% Einheitswürfel" ist also richtig.

Quader 1

Das ist leider falsch. Zähle nochmal genau wie viele Einheitswürfel sich in einer Reihe befinden.

Versuch es nochmal. Achte dabei, dass sich ein Einheitswürfel hinter den anderen versteckt hat.

Probiere es nochmal. Es befinden sich tatsächlich %%6%% Einheitswürfel in einer Schicht, aber es gibt mehr als nur eine Schicht im Quader.

Super, das stimmt!

In einer Reihe zählst du %%3%% Einheitswürfel.

In einer Schicht gibt es %%2%% Reihen mit jeweils %%3%% Einheitswürfel. Insgesamt passen also %%2 \cdot 3 = 6%% Einheitswürfel in einer Schicht.

Im Quader zählst du %%2%% Schichten mit jeweils %%6%% Einheitswürfel. Insgesamt passen somit %%2 \cdot 6 = 12%% Einheitswürfel im Quader.

Die Antwort "%%12%% Einheitswürfel" ist also richtig.

Quader 2

Das stimmt leider nicht. Probiere es nochmal und zähle dabei genau wie viele Würfel sich in einer Reihe befinden.

Das stimmt leider nicht. Probiere es nochmal und achte dabei, dass du keine Reihe vergisst.

Versuche es nochmal, du hast dich möglicherweise nur verrechnet.

Richtig!

In einer Reihe zählst du %%8%% Einheitswürfel.

In einer Schicht gibt es %%6%% Reihen mit jeweils %%8%% Einheitswürfel. Insgesamt passen also %%6 \cdot 8 = 48%% Einheitswürfel in einer Schicht.

Im Quader zählst du %%4%% Schichten mit jeweils %%48%% Einheitswürfel. Insgesamt passen somit %%4 \cdot 48 = 192%% Einheitswürfel im Quader.

Die Antwort "%%192%% Einheitswürfel" ist also richtig.

In der Tabelle wurden die Maße verschiedener Quader angegeben. Die Volumina sind zunächst unbekannt und sollen in dieser Aufgabe berechnet werden.

Tabelle

Welche Werte kann %%V_1%% annehmen?

Leider falsch, du hast dich möglicherweise bei der Umrechnung von Volumeneinheiten verrechnet.

Leider Falsch. Die Einheit %%\text{cm}^2%% ist eine Flächeneinheit und keine Volumeneinheit.

Leider falsch, du hast dich möglicherweise bei der Umrechnung von Volumeneinheiten verrechnet.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Du kannst hier die Formel zur Berechnung des Volumen eines Quaders nutzen:

%%\begin{array}{lcl} V_1 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 10\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 4\text{cm} \\ & = & 200\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

  • Die Antwort %%V_1 = 200\text{cm}^3%% ist somit richtig.

  • Die Einheit %%\text{cm}^2%% beschreibt eine Fläche und kein Volumen. Somit ist die Antwort %%V_1 = 200\text{cm}^2%% falsch.

  • Da %%2\text{m}^3 = 2000\text{dm}^3 = 2 000 000 \text{cm}^3 \ne 200\text{cm}^3%%, ist die Antwort %%V_1 = 2\text{m}^3%% falsch.

  • Da %%2\text{dm}^3 = 2000\text{cm}^3 \ne 200\text{cm}^3%%, ist auch die Antwort %%V_1 = 2\text{dm}^3%% falsch.

Welche Werte kann %%V_2%% annehmen?

Die Antwort ist leider falsch, denn %%1\:\text{l}%% entspricht %%1\text{dm}^3%% und nicht %%1\text{m}^3%%

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Bevor du die Formel zur Berechnung des Volumen eines Quaders anwendest, kannst du alle Maße in %%\text{dm}%% angeben:

  • %%l = 2\text{m} = 20\text{dm}%%
  • %%b = 0,5\text{m} = 5 \text{dm}%%
  • %%h = 0,5 \text{m} = 5\text{dm}%%

Dadurch rechnest du nur noch mit natürlichen Zahlen weiter. Das Volumen ergibt sich nun als:

%%\begin{array}{lcl} V_2 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 20\text{dm} \cdot 5\text{dm} \cdot 5 \text{dm} \\ & = & 500 \text{dm}^3 \\ \end{array}%%

Wenn du mit der Multiplikation von Dezimalbrüchen vertraut bist, kannst du selbstverständlich auch direkt die Formel zur Berechnung des Volumen eines Quaders anwenden:

%%\begin{array}{lcl} V_2 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 2\text{m} \cdot 0,5\text{m} \cdot 0,5\text{m} \\ & = & 0,5\text{m}^3 \\ \end{array}%%

  • Die Antwort %%V_2 = 500\text{dm}^3%% ist also richtig.

  • Die Volumeneinheit %%1\: \text{l} = 1 \text{dm}^3%%. Daraus folgt, dass %%500\: \text{l} = 500\text{dm}^3%%. Die Antwort %%V_2 = 500\: \text{l}%% ist also richtig

  • und die Antwort %%V_2 = 0,5 \: \text{l}%% ist falsch.

  • Die Volumeneinheit %%1 \: \text{hl} = 100\: \text{l}%%. Also %%5\: \text{hl} = 500\: \text{l} = 500\text{dm}^3%% und die Antwort %%V_2 = 5\: \text{hl}%% ist richtig.

Welche Werte kann %%V_3%% annehmen?

Leider ist diese Lösung falsch, du hast wahrscheinlich einen Fehler bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen gemacht.

Leider falsch, beim Umrechnen hast du wohl einen Fehler gemacht.

Leider falsch, beim Umrechnen hast du wohl einen Fehler gemacht.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Hier sind die Länge, die Breite und die Höhe in unterschiedlichen Einheiten gegeben. Bevor du die Formel für das Berechnen des Volumen eines Quaders anwenden kannst, musst du alle Maße in der gleichen Einheit angeben.

Um nur mit Natürlichen Zahlen zu rechnen kannst du hier alle Maße in %%\text{cm}%% angeben:

  • %%l = 2\text{dm} = 20 \text{cm}%%
  • %%b = 15\text{cm}%%
  • %%h = 100 \text{mm} = 10 \text{cm}%%

Damit kannst du das Volumen wie folgt ausrechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_3 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 20\text{cm} \cdot 15\text{cm} \cdot 10\text{cm} \\ & = & 3000\text{cm}^3 \\ & = & 3 \text{dm}^3 \\ \end{array}%%

Wenn du die Multiplikation von Dezimalbrüchen kennst, dann ist es in diesem Beispiel einfacher alle Maße in %%\text{dm}%% anzugeben:

  • %%l = 2 \text{dm}%%
  • %%b = 15\text{cm} = 1,5 \text{dm}%%
  • %%h = 100 \text{mm} = 1 \text{dm}%%

Das Volumen kannst du somit wie folgt berechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_3 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 2\text{dm} \cdot 1,5\text{dm} \cdot 1 \text{dm} \\ & = & 3 \text{dm}^3 \\ \end{array}%%

  • Die Antwort %%V_3 = 3 \text{dm}^3%% ist somit richtig

  • und die Antworten %%V_3 = 0,3 \text{dm}^3%%, %%V_3 = 30\text{dm}^3%% und %%V_3 = 300\text{dm}^3%% sind alle falsch.

Welche Werte kann %%V_4%% annehmen?

Diese Antwort ist leider falsch, %%1\text{cm}^3%% entspricht %%1\:\text{ml}%% und nicht %%1\:\text{cl}%%.

Leider falsch, beim Umrechnen hast du wohl einen Fehler gemacht.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Hier sind die Länge, die Breite und die Höhe in unterschiedlichen Einheiten gegeben. Bevor du die Formel für das Berechnen des Volumen eines Quaders anwenden kannst, musst du alle Maße in der gleichen Einheit angeben.

Es bietet sich bei dieser Aufgabe an, die Maße in %%\text{cm}%% anzugeben:

  • %%l = 0,01\text{m} = 1\text{cm}%%
  • %%b = 10\text{mm} = 1\text{cm}%%
  • %%h = 0,1\text{dm} = 1\text{cm}%%

Es handelt sich also bei diesem Quader um einen Würfel mit der Kantenlänge %%a = 1\text{cm}%%. Das Volumen des Würfels kannst du dann wie folgt berechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_4 & = & a \cdot a \cdot a \\ & = & 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \\ & = & 1\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

  • Die Antwort %%V_4 = 1\text{cm}^3%% ist also richtig

  • und die Antwort %%V_4 = 1\text{mm}^3%% ist falsch.

  • Die Volumeneinheit %%1\: \text{ml} = 1\text{cm}^3%%. Somit ist die Antwort %%V_4 = 1\: \text{ml}%% richtig

  • und die Antwort %%V_4 = 1\text{cl}%% falsch.

Die Firma "Würfeldeluxe" hat eine Bestellung von %%5000%% Würfel erhalten. Die Würfel sollen in einem rechteckigen Paket abgeschickt werden. Die Würfel haben alle eine Kantenlänge %%a = 2 \,cm%%. Die Maße des Pakets kannst du in der Skizze ablesen.
Passen alle Würfel in das Paket?

Paket

Volumen und Einheitswürfel

Ähnlich wie beim Auslegen mit Einheitswürfeln kannst du hier berechnen, wie viele Würfel in das Paket passen.

Anzahl der Würfel in einer Reihe

Das Paket ist %%60%%cm lang und ein Würfel hat eine Kantenlänge von %%2%%cm.
Um die Anzahl der Würfel in einer Reihe zu erhalten, teilst du die Länge der Reihe durch die Kantenlänge des Würfels:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Würfel in einer Reihe} & = & 60\text{cm} : 2\text{cm} \\ & = & 30 \\ \end{array}%%

In einer Reihe passen also %%30%% Würfel.

Anzahl der Würfel in einer Schicht

Das Paket ist %%40%%cm breit.
Die Anzahl der Reihen erhältst du, indem du die Breite des Pakets durch die Kantenlänge der Würfel teilst:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Reihen} & = & 40\text{cm} : 2\text{cm} \\ & = & 20 \\ \end{array}%%

Es gibt also %%20%% Reihen, in der sich jeweils %%30%% Würfel befinden. Insgesamt erhältst du:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Würfel in einer Schicht} & = & 20 \cdot 30 \\ & = & 600 \\ \end{array}%%

Es passen %%600%% Würfel in eine Schicht.

Anzahl der Würfel im Paket

Das Paket ist %%20%%cm hoch.
Die Anzahl der Schichten erhältst du, indem du die Höhe des Pakets durch die Kantenlänge der Würfel teilst:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Schichten} & = & 20\text{cm} : 2\text{cm} \\ & = & 10 \\ \end{array}%%

In das Paket passen %%10%% Schichten, in jeder Schicht %%600%% Würfel. Insgesamt ergibt sich also:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Würfel im Paket} & = & 10 \cdot 600 \\ & = & 6000 \\ \end{array}%%

In ein Paket passen also %%6000%% Würfel.

Die Firma "Würfeldeluxe" kann somit alle %%5000%% Würfel in einem Paket abschicken.

Die beiden Skizzen zeigen einen Quader und einen Würfel mit deren Abmessungen.

Quader

Würfel

Welcher dieser beiden Körper hat den größeren Oberflächeninhalt?

Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt beider Körper wird hier berechnet und anschließend verglichen.

Oberfläche des Quaders

Die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Quaders lautet:

%%O = 2\cdot l\cdot b + 2\cdot l \cdot h + 2\cdot b \cdot h%%

Für den Quader links sind:

  • %%l = 8\text{cm}%%
  • %%b = 5\text{cm}%%
  • %%h = 3\text{cm}%%

Diese Werte werden in die Formel eingesetzt:

%%\begin{array}{lclclcl} O & = & 2\cdot 8\text{cm} \cdot 5\text{cm} & + & 2 \cdot 8\text{cm} \cdot 3\text{cm} & + & 2 \cdot 5\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\ & = & 80\text{cm}^2 & + & 48\text{cm}^2 & + & 30\text{cm}^2 \\ & = & 158\text{cm}^2 \\ \end{array}%%

Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt also %%150\text{cm}^2%%

Oberfläche des Würfels

Für den Würfel rechts ist die Kantenlänge %%a = 5\text{cm}%%.
Die Fläche %%A%% einer Seite kann wie folgt berechnet werden:

%%\begin{array}{lcl} A & = & a \cdot a \\ & = & 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \\ & = & 25 \text{cm}^2 \end{array}%%

Da bei einem Würfel alle %%6%% Seitenflächen gleich groß sind, ergibt sich für die Oberfläche:

%%\begin{array}{lcl} O & = & 6 \cdot 25\text{cm}^2 \\ & = & 150\text{cm}^2 \\ \end{array}%%

Der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt also %%150\text{cm}^2%%.

Vergleich

Der Oberflächeninhalt des linken Quaders %%\left(158\text{cm}^2\right)%% ist größer als der Oberflächeninhalt des rechten Würfels %%\left(150\text{cm}^2\right)%%.

Welcher dieser beiden Körper hat das größere Volumen?

Volumen

Das Volumen der beiden Körper wird hier berechnet, um beide Volumina vergleichen zu können.

Volumen des Quaders

Das Volumen eines Quaders lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

%%V = l\cdot b \cdot h%%

Aus der Skizze, oder aus Aufgabe (a), kannst du folgende Werte ablesen:

  • %%l = 8%%cm
  • %%b = 5%%cm
  • %%h = 3%%cm

Diese Werte kannst du nun in die Formel einsetzen:

%%\begin{array}{lcl} V & = & 8\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\ & = & 120\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Das Volumen des Quaders links beträgt also %%120\text{cm}^3%%.

Volumen des Würfels

Das Volumen eines Würfels lässt sich mit der folgenden Formel berechen:

%%V = a\cdot a\cdot a%%

Der Würfel aus der Skizze links hat eine Kantenlänge %%a = 5%%cm.
Diesen Wert kannst du nun in die Formel einsetzen:

%%\begin{array}{lcl} V & = & 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \\ & = & 125\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Das Volumen des Würfels rechts beträgt also %%125\text{cm}^3%%.

Erkenntnis

Der Quader hat somit ein kleineres Volumen %%\left(120\text{cm}^3\right)%% als der Würfel %%\left(125\text{cm}^3\right)%%, obwohl der Oberflächeninhalt des Quaders %%\left(158\text{cm}^2\right)%% größer ist als der Oberflächeninhalt des Würfels %%\left(150\text{cm}^2\right)%%.

Eine Größere Oberfläche bedeutet also nicht zwingend ein größeres Volumen!

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