Betrachte folgendes Holzhäuschen (Maße in %%\mathrm m%%):

  1. Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im Holzhäuschen spannen könnte?

  2. Wie viel %%\mathrm m^2%% Dachfläche hat das Holzhäuschen?

Gib das Ergebnis beider Teilaufgaben mit einem Strichpunkt getrennt ein - in der Form "x Meter; x Quadratmeter".

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Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Der längste Faden ist entweder so lang wie

  • die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%
    (denn diese geht von der unteren Ecke des Raumes in die entgegengesetzt gelegene obere Ecke)

oder so lang wie

  • die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%
    (denn um von %%\mathrm E%% zu %%\mathrm F%% zu kommen, muss die Spinne zwar weniger weit nach rechts, als wenn sie zu %%\mathrm T%% webt, aber dafür etwas weiter nach oben).

Möglichen längste Strecken im Holzhäuschen

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne zuerst die Längen der beiden Strecken %%\left[\mathrm{ET}\right]%% und %%\left[\mathrm{EF}\right]%%,
  • und prüfe dann, welche von beiden die längere ist.

Berechnung der Länge der Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%

Skizze: Dreieck EHT im Holzhäuschen

Die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%% ist Seite im Dreieck %%\triangle \mathrm{EHT}%%.

Dieses Dreieck hat bei %%\mathrm H%% einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck %%\triangle \mathrm{EHT}%% den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\left[\mathrm{ET}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\overline{\mathrm{HT}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke %%\left[\mathrm{HT}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{SG}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m%% kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

aber die Länge %%\overline{\mathrm{EH}}%% musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{EH}}%%:

Skizze: Dreieck EHG am Boden des Holzhäuschens

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{EH}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{EGH}%% am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm G%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{EH}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=\overline{\mathrm{EG}}^2+\overline{\mathrm{GH}}^2%%

%%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% und %%\overline{\mathrm{GH}}=2,50\,\mathrm m%% sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=\left(3,40\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2%%

und rechne aus.

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=17,81\mathrm m^2%%

Um von %%\overline{\mathrm{EH}}^2%% zu %%\overline{\mathrm{EH}}%% zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

%%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%%

Wenn du einen ungefähren Wert für %%\overline{\mathrm{EH}}%% wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

%%\overline{\mathrm{EH}}\approx4,22\;\mathrm m%%

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit %%\overline{\mathrm{EH}}^2%% weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge %%\overline {\mathrm{ET}}%% mithilfe des errechneten %%\overline {\mathrm{EH}}%%:

Skizze: Dreieck EHT zur endgültigen Berechnung der Strecke von E nach T

Du hast bislang erhalten:

  • %%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

und

  • %%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%%.

Setze nun %%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%% in die obere Gleichung ein.

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\left( \sqrt{17,81} \, \mathrm m \right)^2 +\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=21,9309\, \mathrm m ^2%%

%%\overline{\mathrm{ET}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{ET}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{ET}}=\sqrt{21,9309}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{21,9309}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{ET}}\approx4,68 \, \mathrm m%%

Berechnung der Länge der Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%

Skizze: Dreieck ENF

Die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%% ist Seite im Dreieck %%\triangle \mathrm{ENF}%%.

Dieses Dreieck hat bei %%\mathrm N%% einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck %%\triangle \mathrm{ENF}%% den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\left[\mathrm{EF}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{NF}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke %%\left[\mathrm{NF}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{MD}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m%% kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

aber die Länge %%\overline{\mathrm{EN}}%% musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{EN}}%%:

Skizze: Dreieck EMN

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{EN}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{EMN}%% am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm M%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{EH}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=\overline{\mathrm{EM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{MN}}=2,50\,\mathrm m%% ist angegeben und du kannst sie einsetzen
(denn die Strecke %%\left[\mathrm{MN}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{GH}\right]%%).

%%\left[\mathrm{EM}\right]%% ist halb so lang %%\left[\mathrm{EG}\right]%%, und %%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=\left(\dfrac{3,40}{2}\,\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2%%

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=9,14\, \mathrm m ^2%%

Um von %%\overline{\mathrm{EN}}^2%% zu %%\overline{\mathrm{EN}}%% zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

%%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\, \mathrm m%%

Wenn du einen ungefähren Wert für %%\overline{\mathrm{EN}}%% wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

%%\overline{\mathrm{EN}}\approx3,02\, \mathrm m%%

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit %%\overline{\mathrm{EN}}^2%% weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge %%\overline {\mathrm{EF}}%% mithilfe des errechneten %%\overline {\mathrm{EN}}%%:

Dreieck ENF

Du hast bislang erhalten:

  • %%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

und

  • %%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m%%.

Setze nun %%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m%% in die obere Gleichung ein.

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\left(\sqrt{9,14}\,\mathrm m \right)^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=15,6425 \, \mathrm m^2%%

%%\overline{\mathrm{EF}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{EF}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{EF}}=\sqrt{15,6425}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{15,6425}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{EF}}\approx3,96 \, \mathrm m%%

Ergebnis

Die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%% mit einer Streckenlänge von ca. %%4,68\,\mathrm m%% ist größer als die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%.

Damit ist die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Die Dachfläche besteht aus zwei Rechtecken, die beide gleich groß sind.

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne die Fläche des Rechtecks %%\mathrm {DSTF}%% und

  • multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2.

Holzhäuschen-Dachflächen

Berechnung der Fläche der Dachhälfte %%\mathrm {DSTF}%%

%%A_\mathrm {DSTF}=?%%

Das Viereck %%\mathrm {DSFT}%% ist ein Rechteck.
Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

%%A_\mathrm {Rechteck} = Länge \cdot Breite%%

%%A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m%% ist angegeben, aber %%\overline{\mathrm {DS}}%% musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{DS}}%%:

Seitenkante mit Pythagoras berechnen

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{DS}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{KSD}%% auf der Vorderfläche des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm K%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{DS}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\overline{\mathrm{KS}}^2+\overline{\mathrm{DK}}^2%%

%%\left[\mathrm{KS}\right]%% ist halb so lang %%\left[\mathrm{EG}\right]%%, und %%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+\overline{\mathrm{DK}}^2%%

%%\overline{\mathrm {DK}}%% kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken %%\left[\mathrm{DM}\right]%% und %%\left[\mathrm{KM}\right]%%:

%%\overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}%%

%%\overline{\mathrm{DM}}=2,55 \, \mathrm m%% ist angegeben.

%%\overline{\mathrm{KM}}=2,03 \, \mathrm m%% kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke %%\left[\mathrm{KM}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{SG}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{DK}}=2,55\, \mathrm m - 2,03 \,\mathrm m = 0,52 \,\mathrm m%%

Setze dies nun ein.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+ \left(0,52\, \mathrm m\right)^2%%

Das kannst du jetzt ausrechnen.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=3,1604 \, \mathrm m^2%%

%%\overline{\mathrm{DS}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{DS}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{DS}}=\sqrt{3,1604}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{3,1604}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m%%

Diesen gerundeten Wert für %%\overline{\mathrm{DS}}%% kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

%%A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}%%

Hier setzt du nun %%\overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m%% und %%\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m%% ein.

%%A=2\cdot2,5\,\mathrm m\cdot 1,78\,\mathrm m=8,9\,\mathrm m^2%%

Der Flächeninhalt des Daches beträgt %%8,9 \ m^2%%.