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Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

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Der Sinus- und der Kosinussatz stellen Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in beliebigen Dreiecken her.

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten aabbcc  und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln α\alpha, β\beta, γ\gamma gilt:

Sinussatz

Kosinussatz

  • c2=a2+b22abcos(γ)c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)

  • b2=a2+c22accos(β)b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos\left(\beta\right)

  • a2=b2+c22bccos(α)a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\left(\alpha\right)

Wenn du den Winkel berechnen willst, musst du nach den Kosinuswerten umformen:

  • cos(γ)=a2+b2c22ab\cos(\gamma)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}, und γ=cos1(a2+b2c22ab)\gamma=\cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)

  • cos(β)=a2+c2b22ac\cos(\beta)=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}, und β=cos1(a2+c2b22ac)\beta=\cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)

  • cos(α)=b2+c2a22bc\cos(\alpha)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, und α=cos1(b2+c2a22bc)\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)

Alternative Formulierung des Sinussatzes

Durch Umformungen kann man den Sinussatz auch auf folgende Formen bringen:

Man kann nach den einzelnen Größen auflösen:

Auflösung nach den Winkeln:

Beachte

Wenn du aus einem Sinuswert in einem Dreieck den Winkel berechnen willst, beachte, dass die Gleichung sin(α)=x\sin(\alpha)=x für Winkel zwischen 00^\circ und 180180^\circ zwei Lösungen hat:

mit dem α\alpha, das dir dein Taschenrechner mit der Eingabe sin1(x)\sin^{-1}(x) anzeigt, ist auch 180α180^\circ-\alpha eine Lösung.

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes

Für γ=90\gamma=90^\circ erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt cos(90)=0\cos(90^\circ)=0. Damit ist der Satz des Pythagoras c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Beispiel

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6534_HjoYFV5sL9.xml

Im Dreieck ABCABC seien die Werte  a=6,10a=6{,}10, α=45\mathrm\alpha=45^\circ, β=55\beta=55^\circ und damit auch γ=80\gamma=80^\circ gegeben.

Berechne zuerst mithilfe des Sinussatzes die Länge der Seite bb:

Setze die bekannten Werte ein.

Löse nach bb auf.

Berechne nun mithilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite cc:

Setze die Werte ein.

Video

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz


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