Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

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Der Sinus- und der Kosinussatz stellen Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in beliebigen Dreiecken her.

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten aabbcc  und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln α\alpha, β\beta, γ\gamma gilt:

Sinussatz

asin(α)=bsin(β)=csin(γ).\displaystyle \frac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{\sin\left(\gamma\right)}._{ }^{ }

Kosinussatz

  • c2=a2+b22abcos(γ)c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)

  • b2=a2+c22accos(β)b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos\left(\beta\right)

  • a2=b2+c22bccos(α)a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\left(\alpha\right)

Wenn du den Winkel berechnen willst, musst du nach den Kosinuswerten umformen:

  • cos(γ)=a2+b2c22ab\cos(\gamma)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}, und γ=cos1(a2+b2c22ab)\gamma=\cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)

  • cos(β)=a2+c2b22ac\cos(\beta)=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}, und β=cos1(a2+c2b22ac)\beta=\cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)

  • cos(α)=b2+c2a22bc\cos(\alpha)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, und α=cos1(b2+c2a22bc)\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)

Alternative Formulierung des Sinussatzes

Durch Umformungen kann man den Sinussatz auch auf folgende Formen bringen:

sin(α)a=sin(β)b=sin(γ)c.\displaystyle \frac{\sin\left(\alpha\right)}{a}=\frac{\sin\left(\beta\right)}{b}=\frac{\sin\left(\gamma\right)}{c}.

ab=sin(α)sin(β)ac=sin(α)sin(γ)bc=sin(β)sin(γ)\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\sin\left(\beta\right)}\qquad\qquad\qquad \frac{a}{c}=\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\sin\left(\gamma\right)}\qquad\qquad\qquad\frac{b}{c}=\frac{\sin\left(\beta\right)}{\sin\left(\gamma\right)}

Man kann nach den einzelnen Größen auflösen:

a=bsin(β)sin(α)=csin(γ)sin(α)\displaystyle a=\frac{b}{\sin(\beta)}\cdot \sin(\alpha) =\frac{c}{\sin(\gamma)}\cdot \sin(\alpha)

b=asin(α)sin(β)=csin(γ)sin(β)\displaystyle b=\frac{a}{\sin(\alpha)}\cdot \sin(\beta) =\frac{c}{\sin(\gamma)}\cdot \sin(\beta)

c=asin(α)sin(γ)=bsin(β)sin(γ)\displaystyle c=\frac{a}{\sin(\alpha)}\cdot \sin(\gamma) =\frac{b}{\sin(\beta)}\cdot \sin(\gamma)

Auflösung nach den Winkeln:

α=sin1(absin(β))=sin1(acsin(γ))\displaystyle \alpha=\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\sin(\beta)\right)= \sin^{-1}\left(\frac{a}{c}\sin(\gamma)\right)
β=sin1(basin(α))=sin1(bcsin(γ))\displaystyle \beta= \sin^{-1}\left(\frac{b}{a}\sin(\alpha)\right)= \sin^{-1}\left(\frac{b}{c}\sin(\gamma)\right)
γ=sin1(casin(α))=sin1(cbsin(β))\displaystyle \gamma=\sin^{-1}\left(\frac{c}{a}\sin(\alpha)\right)= \sin^{-1}\left(\frac{c}{b}\sin(\beta)\right)

Beachte

Wenn du aus einem Sinuswert in einem Dreieck den Winkel berechnen willst, beachte, dass die Gleichung sin(α)=x\sin(\alpha)=x für Winkel zwischen 00^\circ und 180180^\circ zwei Lösungen hat:

mit dem α\alpha, das dir dein Taschenrechner mit der Eingabe sin1(x)\sin^{-1}(x) anzeigt, ist auch 180α180^\circ-\alpha eine Lösung.

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes

Für γ=90\gamma=90^\circ erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt cos(90)=0\cos(90^\circ)=0. Damit ist der Satz des Pythagoras c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Beispiel

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6534_HjoYFV5sL9.xml

Im Dreieck ABCABC seien die Werte  a=6,10a=6{,}10, α=45\mathrm\alpha=45^\circ, β=55\beta=55^\circ und damit auch γ=80\gamma=80^\circ gegeben.

Berechne zuerst mithilfe des Sinussatzes die Länge der Seite bb:

asin(α)=bsin(β)\displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}

Setze die bekannten Werte ein.

6,1sin(45)=bsin(55)\displaystyle \frac{6{,}1}{\sin\left(45^{\circ}\right)}=\frac{b}{\sin\left(55^{\circ}\right)}

Löse nach bb auf.

b=6,1sin(55)sin(45)=7,1\displaystyle \Rightarrow b=\frac{6{,}1\cdot\sin(55^{\circ})}{\sin(45^{\circ})}=7{,}1

Berechne nun mithilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite cc:

c=a2+b22abcos(γ)\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)}

Setze die Werte ein.

=6,12+7,1226,17,1cos(80)=8,5\displaystyle =\sqrt{6{,}1^2+7{,}1^2-2\cdot6{,}1\cdot7{,}1\cdot\cos\left(80^{\circ}\right)}=8{,}5

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Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz


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