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3Herleitung der Abbildungsgleichung (1/2)

Der Punkt PP soll an der Ursprungsgeraden hh gespiegelt werden.

Auf den nächsten Kursseiten wird eine Abbildungsgleichung zum Berechnen des Bildpunktes PP' hergeleitet:

Herleitung Gleichung Achsenspiegelung Bild 1

Die Länge des Ortsvektores OP\overrightarrow{OP} und die seiner Abbildung OP\overrightarrow{OP'} ist gleich. Wir bezeichnen diese Länge mit aa:

OP=OP=a|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OP'}|= a

Man kann nun die Koordinaten des Punktes PP mithilfe von Kosinus und Sinus darstellen (rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse OP\overline{OP}):

xP=acosφx_P=a\cos\varphi_{ }

yP=asinφy_P=a\sin\varphi_{ }^{ }

OP=(xy)=(acosφasinφ)\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a \cos \varphi \\ a \sin \varphi \end{pmatrix}

Herleitung Gleichung Achsenspiegelung Bild 1

Man kann nun auch die Koordinaten des Punktes PP' mit Hilfe von Kosinus und Sinus darstellen (rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse OP\overline{OP'}):

xP=acos(2αφ)x_P'=a\cos(2\alpha-\varphi)^{ }

yP=asin(2αφ)y_P'=a\sin(2\alpha-\varphi)_{ }



OP=(xy)=(acos(2αφ)asin(2αφ))\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a \cos(2\alpha- \varphi) \\ a \sin(2\alpha - \varphi) \end{pmatrix}


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