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Beweise die folgenden Sätze:

  1. Sei RR eine Äquivalenzrelation auf der Grundmenge MM. Dann ist die Menge aller Äquivalenzklassen M/R:={[x]RxM}{M/{\sim_R}}:= \{ [x]_R\,|\,x\in M\} eine Zerlegung der Grundmenge.

  2. Sei MM eine Menge und PP eine Zerlegung dieser Menge. Dann gibt es genau eine Äquivalenzrelation \sim, die diese Zerlegung induziert, für die also M/=PM/{\sim}=P ist. Diese Äquivalenzrelation ist definiert durch:

    xy:AP:x,yAx\sim y :\Leftrightarrow \exists A\in P: x,y\in A