6Strukturerhaltung bei linearen Abbildungen

→ Hauptartikel: Eigenschaften Linearer Abbildungen

Eine lineare Abbildung bzw. ein Vektorraumhomomorphismus erhält die Struktur des Vektorraums beim Abbilden. Dies zeigt sich in folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung $f:V\to W$:

• Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet: $f(0)=0$

• Inverse werden auf Inverse abgebildet: $f(-v)=-f(v)$

• Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet

• Kompositionen linearer Abbildungen sind linear

• Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume

• Das Bild eines Spanns ist der Spann der einzelnen Bildvektoren: $f(\operatorname {span} (M))=\operatorname {span} (f(M))$ ($M\subseteq V$ ist eine beliebige Menge)