Aufgaben
Sei VV ein KK-Vektorraum. Beweise, dass die Identität id:VV\operatorname {id} :V\to V mit id(v)=v\operatorname {id} (v)=v eine lineare Abbildung ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Abbildungen

Die Identität ist additiv:
Seien v,wVv,w\in V, dann gilt
id(v+w)=v+w=id(v)+id(w).id(v+w)=v+w=id(v)+id(w).^{ }
Die Identität ist homogen:
Seien λK\lambda \in K und vVv\in V, dann gilt
id(λv)=λv=λid(v).\operatorname {id} (\lambda \cdot v)=\lambda \cdot v=\lambda \cdot \operatorname {id} (v).
Seien VV, WW zwei KK-Vektorräume. Zeige, dass die Nullabbildung f:VWf:V\to W, die alle Vektoren vVv\in V auf den Nullvektor 0W0_W abbildet, linear ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Abbildungen

ff ist additiv:
Seien v1,v2v_{1},v_{2} Vektoren in VV. Dann gilt
f(v1+v2)=0W=0W+0W=f(v1)+f(v2).\displaystyle f(v_{1}+v_{2})=0_W=0_W+0_W=f(v_{1})+f(v_{2}).
ff ist homogen:
Sei vVv\in V und sei λK\lambda \in K. So folgt
f(λv)=0W=λ0W=λf(v).\displaystyle f(\lambda \cdot v)=0_W=\lambda \cdot 0_W=\lambda \cdot f(v).
Damit folgt, die Nullabbildung linear ist.
Sei g:RRg:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,xmx+tx\mapsto m\cdot x+t mit m,tRm,t\in \mathbb {R}. Zeige: gg ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn t=0t=0.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Abbildungen

Beweischschrit: Wenn gg linear ist, ist t=0t=0.

Sei zunächst gg eine lineare Abbildung. Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss g(0)=0g(0)=0 gelten. Nun ist g(0)=tg(0)=t und damit muss t=0t=0 sein.

Beweisschritt: Wenn t=0t=0 ist, ist gg linear.

Sei nun t=0t=0. Wir zeigen g:RRg:\mathbb {R} \to \mathbb {R} , xmxx\mapsto m\cdot x ist linear:

Beweisschritt: Additivität

Seien xx und yy zwei beliebige reele Zahlen. Es ist
g(x+y)g(x+y)
=
m(x+y)m\cdot (x+y)
Definition von gg

=
mx+mym\cdot x + m\cdot y
Distributivgesetz

=
g(x)+g(y)g(x) + g(y)
Definition von gg

Beweisschritt: Homogenität

Sei xx und λ\lambda zwei reele Zahlen. Es ist
g(λx)g(\lambda\cdot x)
=
m(λx)m\cdot (\lambda\cdot x)
Definition von gg

=
mλxm\cdot \lambda\cdot x


=
λ(mx)\lambda\cdot\left(m\cdot x\right)
Definition von gg

=
λg(x)\lambda\cdot g(x)

Also ist gg genau dann eine lineare Abbildung, wenn t=0t=0 ist.

Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen unterschiedlicher Dimension


Ein Beispiel einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen mit unterschiedlicher Dimension ist die folgende Projektion des Raums R³\mathbb{R}³ auf die Ebene R²:\mathbb{R}²:
f:R³R²;(xyz)(xy)f: \mathbb{R}³ \to \mathbb{R}² ; \quad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}
Wir prüfen nun, ob die Vektoraddition erhalten bleibt. Also ob für Vektoren a,bR3a,b\in\R^3 gilt
f(a+b)=f(a)+f(b){{f(a+b)=f(a)+f(b)}}
Dies können wir direkt nachweisen:
f(a+b)=f((axayaz)+(bxbybz))=f((ax+bxay+byaz+bz))=(ax+bxay+by)=(axay)+(bxby)=f((axayaz))+f((bxbybz))=f(a)+f(b).\begin{array}{ll} f(a+b)&= f\left( \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}\right)= f\left( \begin{pmatrix}a_x +b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z \end{pmatrix}\right) \\[2em] & = \begin{pmatrix}a_x + b_x\\a_y +b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_x\\b_y \end{pmatrix} \\[1.5em] & = f\left( \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}\right) + f\left( \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}\right)=f(a)+f(b). \end{array}
Nun überprüfen wir die Homogenität. Für alle λR\lambda \in \R und aR2a\in\R^2 soll gelten:
f(λa)=λf(a).\displaystyle f(\lambda \cdot a)=\lambda \cdot f(a).
Es ist

f(λa)=f(λ(axayaz))=f((λaxλayλaz))=(λaxλay)=λ(axay)=λf((axayaz))=λf(a).\displaystyle \begin{array}{ll} f(\lambda \cdot a)&= f\left(\lambda \cdot \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}\right) = f\left(\begin{pmatrix}\lambda a_x\\\lambda a_y\\\lambda a_z \end{pmatrix}\right ) \\[2em] &= \begin{pmatrix}\lambda a_x\\ \lambda a_y \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} a_x\\ a_y \end{pmatrix} = \lambda \cdot f\left(\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}\right )\\[2em] &=\lambda\cdot f(a). \end{array}
Damit ist die Projektion f f eine lineare Abbildung.
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