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Beispiel: Streckung in x-Richtung

Unser erstes Beispiel ist die Streckung um den Faktor β\sf \beta in x\sf x-Richtung in der Ebene R2\sf \R^2. Dabei wird jeder Vektor a=(ax,ay)TR2\sf a=(a_x, a_y)^T \in\R^2 abgebildet auf f(a)=(βax,ay)T\sf f(a)=(\beta a_x, a_y)^T. Die folgende Grafik zeigt diese Abbildung für β=2\sf \beta = 2. Die y\sf y-Koordinate bleibt dabei gleich und die x\sf x-Koordinate wird verdoppelt:

Schauen wir uns nun an, ob diese Abbildung verträglich mit der Addition ist. Nehmen wir also zwei Vektoren a\sf a und b\sf b, bilden die Summe a+b\sf a+b und strecken diese dann in x\sf x-Richtung. Das Ergebnis ist dasselbe, als wenn wir beide Vektoren zuerst in x\sf x-Richtung strecken und dann addieren:

Das lässt sich auch mathematisch zeigen. Unsere Abbildung ist die Funktion f:R2R2, f((x,y)T)=(βx,y)T\sf f: \R^2 \to \R^2, \ f(\left(x, y)^T\right)=(\beta x, y)^T. Wir können nun die Eigenschaft f(a+b)=f(a)+f(b)\sf f(a+b)=f(a)+f(b) nachprüfen:

f(a+b)=f((axay)+(bxby))=f((ax+bxay+by))=(β(ax+bx)ay+by)=(βax+βbxay+by)=(βaxay)+(βbxby)=f((axay))+f((bxby))=f(a)+f(b)\sf \begin{array}{c l} f(a+b) &= f\left(\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix}\right) \\ &= f\left(\begin{pmatrix}a_x + b_x\\a_y + b_y\end{pmatrix}\right) \\ &= \begin{pmatrix}\beta(a_x+b_x)\\a_y+b_y\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\beta a_x+\beta b_x\\a_y+b_y\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\beta a_x\\a_y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\beta b_x\\b_y\end{pmatrix} \\ &= f\left(\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}\right)+f\left(\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix}\right) \\ &= f(a)+f(b) \\ \end{array}

Schauen wir uns nun die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation an. Die folgende Grafik zeigt, dass es egal ist, ob der Vektor a\sf a zuerst mit einem Faktor λ\sf \lambda skaliert und dann in x\sf x-Richtung gestreckt wird oder zuerst in x\sf x-Richtung gestreckt und dann mit λ\sf \lambda skaliert wird:

Auch das lässt sich formal zeigen: Für aR2\sf a\in\R^2 und \lambda R\sf \in\R gilt

f(λa)=f(λ(axay))=f((λaxλay))=(β(λax)λay)=(λβaxλay)=λ(βaxay)=λf((axay))=λf(a).\sf \begin{array}{c l} f(\lambda a) &= f\left(\lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix} \right) = f\left(\begin{pmatrix}\lambda a_x\\\lambda a_y\end{pmatrix}\right) \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} \beta (\lambda a_x)\\\lambda a_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda\beta a_x\\\lambda a_y\end{pmatrix}\\[0.5em] &=\lambda \begin{pmatrix}\beta a_x\\a_y\end{pmatrix} = \lambda f\left(\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}\right)\\[0.5em] &= \lambda f(a). \end{array}

Damit ist unser f eine lineare Abbildung.


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