Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation

Analog können wir uns überlegen, dass eine Abbildung f:VWf:V\to W genau dann verträglich mit der skalaren Multiplikation, wenn diese durch die Abbildung erhalten bleibt. Es sollte also für alle w,vVw,v\in V und für alle Skalare λK \lambda \in K gelten:
w=λVv    f(w)=λWf(v) w=\lambda \cdot _{_{V}}v\implies f(w)=\lambda \cdot _{_{W}}f(v)
Beachte, dass λ\lambda ein Skalar und kein Vektor ist und damit nicht durch die betrachtete Funktion veändert wird. Damit wir in der obigen Implikation denselben Skalar verwenden können, müssen beide Vektorräume denselben zugrundeliegenden Körper haben. Sowohl der Definitionsbereich VV als auch der Wertebereich WW muss ein KK-Vektorraum sein.
Lineare Abbildungen erhalten also Skalierungen. Aus w=λvw=\lambda v folgt f(w)=λf(v)f(w)=\lambda f(v). Für den Fall, dass f(v)0f(v)\neq 0 ist, werden Geraden der Form {λv:λR} \{\lambda v:\lambda \in \mathbb {R} \} auf die Gerade {λf(v):λR}\displaystyle \{\lambda f(v):\lambda \in \mathbb {R} \} abgebildet. Obige Implikation kann in eine Gleichung zusammengefasst werden. Es soll also für alle vV v\in V und λK\lambda \in K gelten:
f(λVv)=λWf(v)f(\lambda \cdot _{_{V}}v)=\lambda \cdot _{_{W}}f(v)
Für Abbildungen R2R2\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2} bedeutet dies, dass ein skalierter Vektoren λVv\lambda \cdot _{_{V}}v auf die entsprechende Skalierung λWf(w) \lambda \cdot _{_{W}}f(w) des Bildvektors abgebildet wird:
Wenn eine Abbildung nicht verträglich zur skalaren Multiplikation ist, so gibt es einen Vektor vv und einen Skalierungsfaktor λ\lambda , so dass f(λVv)λWf(w)f(\lambda \cdot _{_{V}}v)\neq \lambda \cdot _{_{W}}f(w) ist:

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