Aufgaben zum Thema Beweise - lernen mit Serlo!

1

Formuliere folgende Aussagen mit Quantoren:

Die Differenz von 1 und allen natürlichen Zahlen, die größer als 15 sind, ist kleiner als −14.
Jede reelle Zahl $x$ hat ein multiplikatives Inverses, also eine Zahl $y$ mit $x⋅y=1$ .
Es gibt eine gerade Primzahl. (Hierbei kann der Operator $\mid$ verwendet werden: für zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ gilt $a \mid b$ genau dann, wenn $a$ Teiler von $b$ ist.)

2

Sind die Aussagen

$\forall x\in\mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:x-y=0$ und

$\exists x \in\mathbb{R} : \forall y \in\mathbb{R}: x-y = 0$ äquivalent?

3

Folgende Aussagen gelten:

(1) Jeder Student will gute Noten haben.

(2) Kein Student lernt auf langweilige Prüfungen.

(3) Jede Prüfung, die ohne Mathe auskommt, ist langweilig.

(4) Jeder Student, der gute Noten haben will, aber nichts gelernt hat, muss sich nur auf sein Glück verlassen.

Beweise: Wenn alle Prüfungen ohne Mathe auskommen, müssen sich alle Studenten nur auf Ihr Glück verlassen.

4

Zeige mit vollständiger Induktion, dass $\sum\limits_{k=1}^n{k} ~=~ \frac{n\cdot(n+1)}{2}$ gilt.

5

Beweise durch vollständige Induktion: für alle $n \in \mathbb{N}_0$ ist 13 ein Teiler von $s(n) := 4^{2n+1} + 3^{n+2}$ .

6

Gegeben sei ein Parkett aus 1x4 und 2x2-Stücken. Nun geht ein 1×4-Stück kaputt und wir haben keins mehr im Lager. Daher ersetzen wir es durch ein 2×2-Stück und versuchen, die Ausgangsform wiederherzustellen (die Teile sind noch nicht festgeklebt, können also beliebig umgeordnet werden).

Geht das immer, also für beliebig geformte Flächen, oder nur für gewisse (welche?), oder vielleicht gar nie?

7

Gib für die Aussage $\neg (\exists x ∈ \mathbb{Z} : x^2 = 5)$ eine äquivalente Aussage an, die keinen Existenzquantor enthält (Allquantoren sind erlaubt).

8

Wie lautet die Verneinung von "Alle Kreter sind Lügner“?

9

Zeige durch Kontraposition: Wenn die Zahlen $a$ und $b$ verschieden sind, dann ist ihr Mittelwert $(a+b)/2$ von $a$ verschieden. (Dasselbe gilt dann natürlich auch für $b$ .)