10. Analysis

Stetigkeit von Funktionen

Anschaulich: Die Funktion macht keine Sprünge!

Differentialrechnung

Ableitung von $f(x)$ an der Stelle $a$:

Ableitung an allen Stellen $a$ ergibt wieder eine neue Funktion $f'(a)$

Beispiel: Ableitung von $f(x) = x^n$:

Herleitung der Exponentialfunktion. Gegeben $f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$ mit beliebigen $a_k,\ k\geq 0$.

Gesucht sind die Koeffizienten $a_k$, so dass $f'(x)=f(x)$:

Koeffizientenvergleich ergibt:

mit der Lösung

• Weitere Ableitungen:

• $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

• $\frac{d}{dx}e^x = e^x$

• $\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}$

• $\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)$

• $\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)$

• Monotonie: Ist die Ableitung an einer Stelle $a$ größer $0$, so weist die Tangente nach oben und die Funktion selbst ist bei $a$ monoton wachsend.

  Ist die Ableitung an einer Stelle $a$ gleich $0$, so hat die Funktion bei $a$ eine waagrechte Tangente:

• lokales Maximum oder Minimum

• Sattelpunkt

  Ist die zweite Ableitung an einer Stelle $a$ größer $0$, so weist die Tangente der Ableitung nach oben und die Ableitung selbst ist monoton wachsend.Die Funktion selbst ist dann bei $a$ konvex gekrümmt:

• Ableitungsregeln

• Produktregel: $\dfrac{d}{dx}g(x)f(x) = g(x)f'(x) + g'(x)f(x)$

• Kettenregel (gilt $y = g(x)$ und $z = f(y)$, so gilt auch $z = f(g(x))$): $\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$

• Kurvendiskussion der Funktion

  mit den Ableitungen

  Nullstellen von $f(x)$ sind $x_0 = 1$. Somit gilt für $x > 1\rightarrow f(x) > 0$ und

  $x < 1 \rightarrow f(x) < 0$

  Polstellen von $f(x)$ sind $x_1 = 0$. Für $x > 2 \rightarrow f'(x) < 0$ ist $f(x)$ monotonfallend. Für $0 < x < 2 \rightarrow f'(x) > 0$ ist $f(x)$ monoton wachsend. Für $x < 0 \rightarrow f'(x) < 0$ ist $f(x)$ monoton fallend.

  Nullstelle von $f'(x)$: $x_2 = 2$ wobei $f(2) = \frac{1}{4}$.

  Für $x > 3$ ist $f''(x) > 0$ und damit $f(x)$ konvex.

  Für $x < 3$ ist $f''(x) < 0$ und damit $f(x)$ konkav.

  Grenzwertbetrachtung:

Aufgaben