Aufgaben zum Thema Potenzen und Polynome

1
Berechne $2^n$ für $n=0\ldots 20$ .
Für größere Zweierpotenzen ist die Faustregel " $2^{10}$ oder $1000$ - das ist doch praktisch dasselbe" nützlich. Gib damit Näherungen für $2^{32}$ und $2^{64}$ an.
2
Wie viele verschiedene Zustände kannst du mit $n$ Bits darstellen? Speziell: Wenn du ganze Zahlen (bei $0$ beginnend) in $32$ Bit speicherst, wie weit kannst du damit zählen?
3
Berechne $\displaystyle \left(\sum_{i=0}^n x^i\right)\cdot(x-1)$ und stelle damit eine geschlossene Formel (d.h. ohne Summenzeichen) zur Berechnung von $\displaystyle\sum_{i=0}^n x^i$ für $x\ne 1$ auf.
4
Für welche ganzen Zahlen ist $2^n > n^2$ ? (Probieren ist hier besser als rechnen!)
5
Gegeben ist die Funktion: $f\left(x\right)=2^x$ für die ganzen Zahlen $-1000,...,10$
1. Diskutiere den Satz: "Der Graph der Exponentialfunktion ergibt einen rechten Winkel".
2. Bestimme die kleinste Zahl $x_0$ , so dass für alle $x\geq x_0$ gilt: $2^x \geq 16x^3$ .
3. Wie ändert sich die Antwort in b), wenn die rechte Seite ( $16x^3$ ) mit $2^13=8192$ multipliziert wird, also die Ungleichung $2^x \geq 131072x^3$ betrachtet wird?
6
Gegeben sind die beiden Funktionen $f(x)=6\cdot x^2$ und $g(x)=2\cdot x^3$ .
1. Skizziere beide Graphen.
2. Für welche x ist $f(x)=g(x)$ ? Für welche ist $f(x) > g(x)$ und für welche $f(x) < g(x)$ ?

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