Aufgaben

Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.

%%f(z)=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{2z^2}{7}%%

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Lösungsvorschlag 1

Um beide Brüche verrechnen zu können, musst du diese auf einen Hauptnenner bringen.

%%f(z)=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{2z^2}{7}%%

Erweitere %%\dfrac{2z^2}{7}%% mit %%2%%.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{4z^2}{14}%%

Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{3z^2+4z^2}{14}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{7z^2}{14}%%

Kürze den Bruch mit %%7%%.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{z^2}{2}%%

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{1}{2}\cdot z^2%%

Ziehe den Faktor vor den Bruch.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%f'(z)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot z=z%%

Lösungsvorschlag 2

Da beide Brüche im Zähler ein %%z^2%% haben, kann man dieses ausklammern.

%%f(z)=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{2z^2}{7}%%

Klammere %%z^2%% aus.

%%\phantom{f(z)}=\left(\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\right)\cdot z^2%%

Erweitere %%\dfrac{2}{7}%% mit %%2%%.

%%\phantom{f(z)}=\left(\dfrac{3}{14}+\dfrac{4}{14}\right)\cdot z^2%%

Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{3+4}{14}\cdot z^2%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{f'(z)}=\dfrac{7}{14}\cdot z^2%%

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{1}{2}\cdot z^2%%

Kürze den Bruch mit %%7%%.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%f'(z)=\dfrac{1}{2}\cdot2 \cdot z=z%%

Beide Varianten liefern das Endergebnis %%f'(z)=z%%.

$$g(t)=\frac{5t^3+2t-1}{4}$$

Um diese Funktion abzuleiten, bietet es sich an, dass du zunächst einen Faktor vor den Bruch schreibst und den entstehenden Term dann ableitest.

Umformung des Funktionsterms

%%\begin{align} g(t) &= \frac{5t^3 + 2t - 1}{4} \\ &= \frac{1}{4} \cdot (5t^3 + 2t - 1) \end{align}%%

Nun ziehst du %%\frac{1}{4}%% vor den Bruch.

Ableiten der Funktion

Die Ableitung %%g´(t)%% lässt sich nun als Polynomfunktion mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion bestimmen.

Es ergibt sich:

%%\begin{align} g´(t) &= \frac{1}{4} \cdot (5\cdot 3t^2 + 2\cdot1)\\ &= \frac{1}{4} \cdot (15t^2 + 2) \end{align}%%

Die Faktorregel besagt, dass man bei der Ableitung von Funktionen Konstanten vor Variablen nicht ableiten muss.

Unter Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion lassen sich die einzelnen Potenzfunktionen nun ableiten.

Die Ableitung von %%g(t)%% ist %%g´(t) = \frac{1}{4} \cdot (15t^2 + 2)%%.

%%\displaystyle h(t)= -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}%%

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Lösungsvorschlag 1:

Bringe die zwei Brüche auf den Hauptnenner, um dann die Brüche zusammen zu fassen..

%%\displaystyle h(t)= -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}%%

Erweitere den Bruch %%\dfrac{t^3}{3}%% mit 2.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = -\frac{2t^3}{6}-\frac{t^3}{6}%%

Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = \frac{-2t^3-t^3}{6}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = \frac{-3t^3}{6}%%

Ziehe den Faktor vor den Bruch.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = -\frac{t^3}{2}%%

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von %%h(t)%%.

%%\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1,5t^2%%

Lösungsvorschlag 2:

Du kannst hier %%\displaystyle t^3%% ausklammern , um die Funktion zu vereinfachen.

%%\displaystyle h(t)= -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}%%

Ziehe die Fakoren vor die Brüche.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = -\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{6}t^3%%

Du kann hier %%\displaystyle t^3%% ausklammern.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = \left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3%%

Erweitere den Bruch %%-\dfrac{1}{3}%% mit 2.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = \left(-\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3%%

Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle =\left(\frac{-2-1}{6}\right)\cdot t^3%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle =-\frac{3}{6}\cdot t^3%%

Kürze den Bruch mit 3.

%%\phantom{h(t)} \displaystyle = -\frac{1}{2}t^3%%

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von %%h(t)%%.

%%\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1,5t^2%%

Beide Varianten liefern das Endergebnis %%\displaystyle h'(t)= -1,5t^2%%.

$$k(s)=\frac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}$$

Hier bietet es sich an, den Bruch zuerst zu kürzen, danach %%\dfrac{1}{\sqrt{2}}%% vor den Bruch zu ziehen und anschließend abzuleiten.

Umformung des Funktionsterms

%%k(s)=\dfrac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}%%

Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.

%%\phantom{k(s)}=\dfrac{2\cdot(3s^3+2)}{2\sqrt{2}}%%

Kürze mit 2.

%%\phantom{k(s)}=\dfrac{(3s^3+2)}{\sqrt{2}}%%

Ziehe %%\dfrac{1}{\sqrt{2}}%% vor den Bruch.

%%\phantom{k(s)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot(3s^3+2)%%

Ableiten der Funktion

Leite nun mit der Faktorregel, der Summenregel und der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.

%%k'(s)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot(9s^2+0)%%

Schreibe %%9s^2%% in den Zähler.

%%\phantom{k'(s)}=\dfrac{9s^2}{\sqrt{2}}%%

Alternativ kannst du auch zu Beginn %%\dfrac{1}{2\sqrt{2}}%% vor den Bruch ziehen und dann ableiten.

Die Ableitung von %%k(s)%% ist %%k'(s)=\dfrac{9s^2}{\sqrt{2}}%%.

$$f(x)= \frac{x^3- 2x}{70}$$

Welche der folgenden Umformungen sind richtig?

Klammer nicht vergessen!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Umformung

Für diese Übung solltest du Bruchterme umformen können.

Welche der drei Umformungen der Funktion %%f(x)= \frac{x^3- 2x}{70}%% sind richtig? Schauen wir sie uns einmal genauer an:

Beachte: im Nenner von %%f%% kommt kein %%x%% vor! Um %%f%% später gut ableiten oder integrieren zu können, bietet es sich an %%f%% "bruchfrei" umzuschreiben. Das machst du, indem du die %%70%% als Kehrwert vor den Zähler schreibst:

Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term %%x^3 -2x%% steht.

So erhältst du: %%\ f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left( x^3 -2x \right)%%

Wenn du die Klammer ausmultiplizerst, erhältst du: %%\ f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left( x^3 -2x \right) = \frac{1}{70} \cdot x^3 - \frac{1}{70} \cdot 2x%%

Damit sind die beiden Umformungen richtig:

  • %%f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left( x^3 -2x \right)%%
  • %%f(x)= \frac{1}{70} \cdot x^3 - \frac{1}{70} \cdot 2x%%

Die andere Umformung %%f(x) =\frac{1}{70} \cdot x^3 - 2x%% ist aber falsch. Hier fehlt die Klammer!

Leite die Funktion %%f%% ab.

Du brauchst hier die Faktorregel und Summenregel .

Lösungsvorschlag 1:

%%\displaystyle f(x)=\frac{1}{70}x^3-\frac{1}{70}\cdot2 x%%

Leite ab.

%%\displaystyle f'(x)=\frac{3}{70}x^2-\frac{2}{70}%%

Kürze den Bruch %%\dfrac{2}{70}%% .

%%\phantom{f'(x)}\displaystyle =\frac{3}{70}x^2-\frac{1}{35}%%

Lösungsvorschlag 2:

%%\displaystyle f(x)=\frac{1}{70}(x^3-2x)%%

Leite ab.

%%\displaystyle f'(x)=\frac{1}{70}(3x^2-2)%%

Die Ableitung von %%f(x)%% ist %%\displaystyle f'(x)=\frac{1}{70}(3x^2-2)=\dfrac{3}{70}x^2-\dfrac{1}{35}%%.

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