Aufgaben

Eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum %%Z(2|2)%% und dem Streckfaktor %%m%% bildet den Punkt %%P%% auf den Punkt %%P'%% ab. Berechne %%m%%, wenn gegeben ist, dass

%%P(8|2)%% und %%P'(6|2)%% ist.

Lösungsstrategie:

  • Am einfachsten löst du die Aufgabe, wenn du mit Vektoren arbeitest.

  • Falls du Vektoren nicht verwenden willst (z. B. weil ihr sie im Unterricht noch nicht behandelt habt), kannst du diese Aufgabe hier auch über Streckenverhältnisse lösen, da die Punkte günstig im Koordinatensystem liegen.

Lösungsweg 1: Lösung mit Vektoren

Gesucht: Streckfaktor %%m%%

Dafür brauchst du nach Möglichkeit eine Formel, die den Streckfaktor %%m%% enthält und ansonsten nur gegebene Werte;
d. h. %%Z%%, %%P%% und %%P'%% sind erlaubt, und %%m%% muss vorkommen.

Für eine zentrische Streckung mit Streckzentrum %%Z%% und Streckfaktor %%m%% gilt stets:

%%\overrightarrow {ZP'}= m\cdot \overrightarrow{ZP}%%

%%\overrightarrow {ZP'}= m\cdot \overrightarrow{ZP}%%

In diese Formel kannst du nun die gegebenen Werte für %%Z(2|2)%% %%P(8|2)%% und %%P'(6|2)%% einsetzen.

Die Vektoren berechnest du natürlich nach der Formel "Spitze minus Fuß".

%%\begin {pmatrix} 6-2 \\ 2-2 \end{pmatrix} = m \cdot \begin{pmatrix} 8-2\\ 2-2 \end{pmatrix}%%

Das kannst du noch weiter ausrechnen,

%%\begin {pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} = m \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 0 \end{pmatrix}%%

und anschließend als zwei getrennte Gleichungen schreiben.

%%\begin{array} {ccccc} \mathrm{I} &&4&=m\cdot 6 \\ \mathrm {II} &&0&=m\cdot 0 \end{array}%%

Aus Gleichung I kannst du nun %%m%% errechnen.

(Gleichung II ist immer erfüllt; aus ihr wirst du daher %%m%% nicht errechnen können, aber du erhältst wenigstens auch keinen Widerspruch.)

%%\mathrm{I}\Rightarrow m = \dfrac{4}{6} = \dfrac {2}{3}%%

Damit hast du das Ergebnis, das du nun als vollständig gekürzten Bruch in einem Antwortsatz angeben kannst:

Der Streckfaktor %%\boldsymbol m%% hat den Wert %%\boldsymbol{\dfrac {2}{3}}%%.

Lösungsweg 2: Lösung ohne Vektoren

Gesucht: Streckfaktor %%m%%

Dafür brauchst du jetzt eine Formel, die den Streckfaktor %%m%% enthält.

Für die Streckenverhältnisse bei einer zentrischen Streckung mit Streckzentrum %%Z%% und Streckfaktor %%m%% gilt:

%%m = \dfrac{\overline {ZP'}}{\overline{ZP}}%%

%%m = \dfrac{\overline {ZP'}}{\overline{ZP}}%%

Um das ausrechnen zu können, bestimmst du %%\overline {ZP}%% und %%\overline {ZP'}%%:

Hier liegt der Sonderfall vor, dass die drei Punkte alle dieselbe y-Koordinate (nämlich 2) haben: %%Z(2|2), P(8|2), P'(6|2)%%
Daher kannst du die Streckenlängen einfach als Differenz der x-Koordinaten ermitteln.

(Wenn du dir das nicht recht vorstellen kannst, hilft dir eine Skizze:)

Strecke und Strecke mit einem Streckfaktor

%%\overline{ZP}=8-2=6%%
%%\overline{ZP'}=6-2=4%%

Diese Werte setzt du nun in %%m%% ein, rechnest den Bruch aus bzw. kürzt ihn soweit wie möglich,

%%m = \dfrac{\overline {ZP'}}{\overline{ZP}}=\dfrac {4}{6}=\dfrac {2}{3}%%

und kannst dann als Ergebnis in einem Antwortsatz angeben:

Der Streckfaktor %%\boldsymbol m%% hat den Wert %%\boldsymbol{\dfrac {2}{3}}%%.

Quellenangabe und Danksagung

Vielen Dank an das Team von Mathe-Oli für die Bereitstellung der Aufgabe, die leicht verändert übernommen wurde aus www.mathe-oli.de

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