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Aufgaben-Baustelle

In diesem Ordner werden Aufgaben untergebracht, für die es im Augenblick keinen geeigneten Ordner gibt, und die selbst einer Bearbeitung bedürfen, problematisch sind, keine Lösung haben oder falsch angelegt sind.

  1. 1

    Terme gliedern

    1. Von welcher Art (Summe, Potenz oder …) ist der Gesamtterm:  x(x2)x\left(x-2\right)

    2. Von welcher Art ist der Gesamtterm:  c1m(T1T0)+c2M(T0T2)c_1\cdot m\cdot\left(T_1-T_0\right)+c_2\cdot M\cdot\left(T_0-T_2\right)

    3. Gliedere den Term:  0,5(m1+m2)v2Eη0{,}5\cdot\left(m_1+m_2\right)\cdot v^2-\frac E\eta

  2. 2

    Terme auswerten.

    1. Berechne T(x)=x4(5x)T\left(x\right)=x^4\left(5-x\right) für x=2x=-2

      Wie würde ein gleichwertiger Term ohne Potenzschreibweise aussehen?

    2. Erstelle die Wertetabelle für T1(x)=3x26x6x12T_1\left(x\right)=\frac{3x^2-6x}{6x-12} und T2(x)=x2T_2\left(x\right)=\frac x2 mit x=0,1,2,3,4,5x=0{,}1,2{,}3,4{,}5.

      Begründe, warum bei T1(x)T_1\left(x\right) das Einsetzen von x=2  x=2\; nicht möglich ist, also dieser Wert nicht zum Definitionsbereich des Terms gehört.

    3. Ergänze die Wertetabelle für T(x)=12x1T\left(x\right)=\frac1{2x-1}

      Beschreibe in Worten, wie der Term aussieht.

  3. 3

    Die Anzahl der Ladestationen für Elektrofahrzeuge in Deutschland soll laut einer Prognose in den nächsten Jahren exponentiell wachsen. Diese Entwicklung kann man näherungsweise durch die Funktion f:y=50001,75xf:y=5000\cdot 1{,}75^x beschreiben, wobei x die Anzahl der Jahre und y die Anzahl der Ladestationen darstellt.

    1. Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Tausender gerundet und zeichnen Sie sodann den Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem ein. (2 P)

      x01234  50001,75x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\quad 0\quad&\quad1\quad&\quad 2\quad&\quad3\quad&\quad4\;\quad\\\hline5000\cdot 1{,}75^x &&&&&\\\hline\end{array}

    2. Ermitteln Sie mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit die ursprüngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um 600% zugenommen haben wird. (2 P)

    3. Geben Sie an, welche jährliche Zunahme in Prozent in dieser Prognose angenommen wurde. (2 P)


  4. 4

    A 2.0

    Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Viereck ABCD.

    Es gilt: AB=7,8 cm\overline{AB}= 7{,}8 \text{ cm}; AD=5,2 cm\overline{AD}=5{,}2 \text{ cm}; BC=8,6 cm\overline{BC}= 8{,}6 \text{ cm};

    BAD=90\sphericalangle BAD=90^{\circ} ; CBA=70\sphericalangle CBA=70^{\circ}.

    Viereck

    Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

    A 2.1 Berechnen Sie die Länge der Diagonalen [BD][BD] und den Flächeninhalt A des Dreiecks BCD.

    [Ergebnisse: BD=9,4 cm\overline{BD}=9{,}4\text{ cm}; A=23,9 cm2A=23{,}9 \text{ cm}^2]

  5. 5

    Das Lösen eines LGS nach dieser Methode benötigt bei nn Unbekannten etwa n3/3n^3/3 Operationen (Additionen und Multiplikationen). Angenommen, unser Rechner schafft 100100 Millionen Operationen pro Sekunde - wie lange braucht er dann für ein LGS mit 1010, mit 10001000, mit 100 000100\ 000 Unbekannten?

  6. 6

    Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.

    1. Aus einer (ausgedachten) Studie geht hervor, dass deutschlandweit eine aus drei Personen im hohen Alter eine Brille benötigen wird. In einem Altenheim leben 20 Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tragen genau 5 von ihnen eine Brille?

    2. Erneut ist aus einer (ausgedachten) Studie bekannt, dass eine aus drei Personen eine Brille trägt. Auf einem Stockwerk des Altenheims leben 5 Personen in Zimmern, die mit den Nummern 1-5 versehen sind.Mit welcher Wahrscheinlichkeit leben in den Zimmern 1 und 4 Brillenträger und in sonst keinem?

    3. Von einem anderen Altenheim ist bekannt, dass 40 der 50 Einwohner Brillenträger sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle 10 Bewohner des ersten Stockwerks Brillenträger?

    4. Aus einer Tanzgruppe sind vier der sechs Tänzer Brillenträger. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die ersten beiden Tänzer, die den Raum betreten, Brillenträger?

  7. 7

    Das Serlo.org Nachhaltigkeits-Team möchte den Garten verschönern und pflanzt deshalb rote und gelbe Tulpen. Die Blumenzwiebeln sehen alle gleich aus, aber auf der Packung steht, dass rote Tulpen viermal häufiger erblühen als gelbe.

    Wie viele Blumen muss das Team mindestens Pflanzen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens eine gelbe Tulpe zu pflanzen.

  8. 8

    Testaufgabe


  9. 9

    Was ist das coolste Tier?

  10. 10

    Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.

    1. Aus einer (ausgedachten) Studie geht hervor, dass deutschlandweit aus drei Mathematikern einer nicht bis drei Zählen kann. In einem Raum befinden sich 3 Mathematiker. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Autor dieser Aufgabe nicht bis 3 zählen?

    2. Erneut ist aus einer (diesmal nicht ausgedachten) Studie bekannt, dass viele Insektenkundler (Entomologen) Angst vor Spinnen haben, weil diese keine Insekten sind.

  11. 11

    Nach einem Modell des britischen Ökonomen Thomas Malthus kann die Zahl BB der Weltbevölkerung in Abhängigkeit von der Zeit tt (in Jahren) näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden. (Einheiten werden nicht mitgeführt.)

    B(t)=B0ertB\left(t\right)=B_0\cdot e^{r\cdot t} , wobei gilt:  t Rt\ \in\mathbb{R}  und  t0\mathrm t\geq0  sowie  rRr\in\mathbb{R}  und  r>0\mathrm r>0 .

    Dabei gibt  B0{\mathrm B}_0  die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt  t=0\mathrm t=0  am 1.1.1800 an und rr ist ein Maß für die Wachstumsrate der Bevölkerung. Am 1.1.1950 betrug die Weltbevölkerung der Bevölkerung etwa 3,73{,}7 Milliarden Menschen, und am 1.1.2050 werden etwa 9,59{,}5 Milliarden Menschen weltweit erwartet.

    1. Zeigen Sie, dass für die Werte  B0{\mathrm B}_0  und  r\mathrm r  gilt:  B00.9109{\mathrm B}_0\approx0.9\cdot10^9  und  r9,43103r \approx 9{,}43\cdot 10^{-3} .

    2. Stellen Sie die Entwicklung der Weltbevölkerung zwischen 1.1.1800 und 1.1.2050 mit einem geeigneten Maßstab grafisch dar.

    3. Entnehmen Sie einer entsprechenden Markierung im Diagramm der Aufgabe 2.2 zu einem beliebigen Zeitpunkt t das Zeitintervall  Δt\Delta\mathrm t , für das folgende Bedingung gilt:  B(t+Δt)=2B(t)B(t+\Delta t)=2\cdot B(t) Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Zeitintervall  Δt\Delta\mathrm t  unabhängig vom Zeitpunkt tt ist, und berechnen Sie  Δt\Delta\mathrm t  auf eine Nachkommastelle gerundet.

    4. Die natürliche Tragfähigkeitsgrenze der Erde ist der Zeitpunkt tTG{\mathrm t}_\mathrm{TG}, an dem die Maßzahl der zur Verfügung stehenden Nahrungsmittel

      N(t)=2,5107t+2,0109N(t)=2{,}5\cdot 10^7\cdot t+2{,}0\cdot 10^9  mit  tR\mathrm t\in\mathbb{R}  und  t0\mathrm t\geq0  (tt in Jahren) nicht mehr größer ist als die Zahl der Weltbevölkerung B(t)\mathrm B(\mathrm t). (Eine Nahrungsmitteleinheit entspricht zur Vereinfachung dabei einer Bevölkerungseinheit.) Bestimmen Sie mithilfe des Newton-Verfahrens den Zeitpunkt  tTG{\mathrm t}_\mathrm{TG}. Benutzen Sie als Startwert t0=210{\mathrm t}_0=210, führen Sie nur einen Näherungsschritt durch, runden Sie das Ergebnis auf ganze Jahre und geben Sie auch das entsprechende Jahr unserer Zeitrechnung an.

  12. 12

    Die Punkte A:(0|0) B:(20|0) C:(0|10) ergeben ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt in quadratdezimeter! Ein Schritt im Koordinatensystem ist zwei cm.

    Bild
  13. 13

    Die Parabel pp verläuft durch die Punkte P(219)P(-2|19) und Q(45)Q(4|-5). Sie hat eine Gleichung der Form y=0,5x2+bx+cy=0{,}5x^2+bx+c mit G=R×R\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R} und b,cRb,c \in \mathbb{R}.

    Die Gerade g besitzt die Gleichung y=0,5x2y=0{,}5x-2 mit G=R×R\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für bb und cc, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,5x25x+7y= 0{,}5x^2-5x+7 besitzt.

    2. Zeichnen Sie die Parabel pp und die Gerade gg für x[0;10]x\in [0;10] in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;0x10;6y81\ cm;0\le x\le10;-6\le y\le8

    3. Punkte An(x0,5x25x+7)A_n(x|0{,}5x^2-5x+7) auf der Parabel p und Punkte Cn(x0,5x2)C_n(x|0{,}5x-2) auf der Gerade g besitzen dieselbe Abszisse x. Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten BnB_n und DnD_n Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n, wobei gilt: BnDn=2 LE\overline{B_nD_n}=2\ LE und yCn>yAny_{Cn} > y_{An}.

      Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=3x=3 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=6x=6 in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

  14. 14

    Es werden zwei Versuche zur Abkühlung von heißem Wasser durchgeführt. Der Temperaturverlauf während dieser Versuche lässt sich jeweils näherungsweise durch eine Exponentialfunktion der Form y=(yAyU)0,9x+yUy=(y_A-y_U)\cdot 0{,}9^x+y_U (G=R+×R+,yAR+,yUR+)(\mathbb{G}=\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+}, y_A \in \mathbb{R}^{+}, y_U \in \mathbb{R}^{+}) beschreiben. Dabei ist nach x Minuten die Temperatur des Wassers auf yCy {}^{\circ}C gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers beträgt yACy_A {}^{\circ}C und die Umgebungstemperatur yUCy_U {}^{\circ}C. Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

    1. Im ersten Versuch kühlt 95C95^{\circ}C heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von 20C20^{\circ}C ab. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf 60C60^{\circ}C gesunken ist. (2 P)

    2. Im zweiten Versuch kühlt 72 C72\ ^{\circ}C heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von 18C18^{\circ}C für 3 Minuten ab. Anschließend wird der Abkühlvorgang in einem zweiten Raum für weitere 8 Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von 39C39^{\circ}C besitzt. Berechnen Sie die Umgebungstemperatur im zweiten Raum. (3 P)


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