Beispiel (1/2) - lernen mit Serlo!

Leite $f(x)=\dfrac{4x^2+3}{2x}$ einmal mit Produktregel und Kettenregel und einmal mit Quotientenregel ab.

Bilde die Ableitung mit der Produktenregel und der Kettenregel.

$f(x)=\dfrac{4x^2+3}{2x}=\dfrac{u(x)}{v(x)}$

Ursprungsfunktion:

$f(x)=\dfrac{4x^2+3}{2x}$

Zähler der Ursprungsfunktion:

$u(x)=4x^2+3$

Ableitung des Zählers:

$u'(x)=8x$

Nenner der Ursprungsfunktion:

$v(x)=2x$

Ableitung des Nenners:

$v'(x)=2$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{u(x)}}{\color{#009999}{v(x)}}=\dfrac{\color{#ff6600}{4x^2+3}}{\color{#009999}{2x}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle (\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (\color{#009999}{2x})^{-1}$

Bilde nun mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung von $f(x)$ .

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \color{#ff6600}{u'(x)}\cdot (\color{#009999}{v(x)})^{-1}+\color{#ff6600}{u(x)}\cdot (-1)\cdot (\color{#009999}{v(x)})^{-2}\cdot \color{#009999}{v'(x)}$
	↓	Setze ein.
	$=$	$\displaystyle \color{#ff6600}{8x}\cdot (\color{#009999}{2x})^{-1}+(\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (-1)\cdot (\color{#009999}{2x})^{-2}\cdot \color{#009999}{2}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{8x}}{\color{#009999}{2x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (-1)\cdot \color{#009999}{2}}{(\color{#009999}{2x})^2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{8x}}{\color{#009999}{2x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (-1)\cdot \color{#009999}{2}}{\color{#009999}{4x^2 }}$
	↓	Kürze den 2. Bruch mit dem Faktor 2.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{8x}}{\color{#009999}{2x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{4x^2+3})\cdot (-1)}{\color{#009999}{ 2x^2 }}$
	↓	Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x^2}{2x^2}+\dfrac{(4x^2+3)\cdot (-1)}{2x^2}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x^2+(4x^2+3)\cdot (-1)}{2x^2}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x^2-4x^2-3}{2x^2}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4x^2-3}{2x^2}$

Die Ableitung von $f(x)$ ist $f'(x)=\dfrac{4x^2-3}{2x^2}$ .

16Beispiel (1/2)