Ableitung mithilfe der Potenzregel

Auf der vorherigen Kursseite wurde die Wurzelfunktion in eine rationale Potenzfunktion umgeformt. Diese kannst du nun mithilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ableiten.

$f(x) = x^r \qquad \qquad \qquad \qquad r \in \mathbb{R}$

$f'(x) = r \cdot x^{r-1}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
	↓	Leite mit der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ab.
$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$
	↓	Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz für negative Exponenten in einen Bruch umformen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}$

Die Ableitung von $f(x) = \sqrt{x}$ ist $f'(x) = \dfrac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$ .

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt[5]{x^4}=x^{\frac{4}{5}}$
	↓	Leite mit der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ab.
$\displaystyle g'(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}\cdot x^{\frac{4}{5}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}\cdot x^{-\frac{1}{5}}$
	↓	Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz für negative Exponenten in einen Bruch umformen.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5\cdot\sqrt[5]{x}}$

Die Ableitung von $g(x) = \sqrt[5]{x^4}$ ist $g'(x) = \dfrac{4}{5\cdot \sqrt[5]{x}}$ .

5Ableitung mithilfe der Potenzregel