Aufgaben

A 1.0 Es werden zwei Versuche zur Abkühlung von heißem Wasser durchgeführt. Der Temperaturverlauf während dieser Versuche lässt sich jeweils näherungsweise durch eine Exponentialfunktion der Form %%y=(y_A-y_U)\cdot 0,9^x+y_U%% %%(\mathbb{G}=\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+}, y_A \in \mathbb{R}^{+}, y_U \in \mathbb{R}^{+})%% beschreiben. Dabei ist nach x Minuten die Temperatur des Wassers auf %%y {}^{\circ}C%% gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers beträgt %%y_A {}^{\circ}C%% und die Umgebungstemperatur %%y_U {}^{\circ}C%% . Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

A 1.1 Im ersten Versuch kühlt 95 %%^{\circ}C%% heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von 20 %%^{\circ}C%% ab. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf 60 %%^{\circ}C%% gesunken ist. (2 P)

A 1.2 Im zweiten Versuch kühlt 72 %%^{\circ}C%% heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von 18 %%^{\circ}C%% für 3 Minuten ab. Anschließend wird der Abkühlvorgang in einem zweiten Raum für weitere 8 Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von 39 %%^{\circ}C%% besitzt. Berechnen Sie die Umgebungstemperatur im zweiten Raum. (3 P)

Die Anzahl der Ladestationen für Elektrofahrzeuge in Deutschland soll laut einer Prognose in den nächsten Jahren exponentiell wachsen. Diese Entwicklung kann man näherungsweise durch die Funktion f:y=50001,75xf:y=5000\cdot 1,75^x beschreiben, wobei x die Anzahl der Jahre und y die Anzahl der Ladestationen darstellt.
Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Tausender gerundet und zeichnen Sie sodann den Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem ein. (2 P)
x01234  50001,75x\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\quad 0\quad&\quad1\quad&\quad 2\quad&\quad3\quad&\quad4\;\quad\\\hline5000\cdot 1,75^x &&&&&\\\hline\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphen

Wertetabelle

Gib die Funktion in den Taschenrechner ein und lasse dir die Wertetabelle ausgeben. Das Ergebnis sollte so aussehen:
x01234  50001,75x50009000150002700047000\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\quad 0\quad&\quad1\quad&\quad 2\quad&\quad3\quad&\quad4\;\quad\\\hline5000\cdot 1,75^x &5000&9000&15000&27000&47000\\\hline\end{array}

Graph

Übertrage die Werte in der Wertettabelle in den Graphen:
Graph der Exponentialfunktion
Ermitteln Sie mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit die ursprüngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um 600% zugenommen haben wird. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphen

Um zu wissen, wann es 600% mehr Ladestationen sind, musst du zuerst berechnen, wie viele Ladestationen 600% mehr sind. Du suchst also den Prozentwert.
Der Grundwert ist die Anzahl der Ladestationen am Anfang, also 5000. Der Prozentsatz sind 600% Steigerung. Nach der Prozentrechenformel gibt es :
50006,00=300005000\cdot6,00=30000 zusätzliche Ladestationen
Also gibt es insgesamt nach dieser Steigerung 30000+5000=3500030000+5000=35000 Ladestationen.
Aus dem Graphen kannst du daher ablesen, dass dies ungefähr bei 3,53,5 der Fall ist.
Punkt auf Graph
Geben Sie an, welche jährliche Zunahme in Prozent in dieser Prognose angenommen wurde. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphen

Die Exponentialfunktion hat als Basis 1,751,75. Übersetzt in eine Prozentzahl ist das 175%175\% . Nun ist aber nach der Zunahme gefragt, was immer der Unterschied zu 100%100\% ist.
Das heißt, die Prognose geht von einer Zunahme von 175%100%=75%175\%-100\%=75\% aus.
B 1.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte P(219)P(-2|19) und Q(45)Q(4|-5). Sie hat eine Gleichung der Form y=0,5x2+bx+cy=0,5x^2+bx+c mit G=R×R\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R} und b,cRb,c \in \mathbb{R}.
Die Gerade g besitzt die Gleichung y=0,5x2y=0,5x-2 mit G=R×R\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R}.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung y=0,5x25x+7y= 0,5x^2-5x+7 besitzt.
Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g für x[0;10]x\in [0;10] in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm;0x10;6y81 cm; 0\leq x \leq 10; -6 \leq y \leq 8
B 1.2 Punkte An(x0,5x25x+7)A_n(x|0,5x^2-5x+7) auf der Parabel p und Punkte Cn(x0,5x2)C_n(x|0,5x-2) auf der Gerade g besitzen dieselbe Abszisse x. Diese Punkte bilden zusamen mit Punkten BnB_n und DnD_n Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n, wobei gilt: BnDn=2LE\overline{B_nD_n}= 2 LE und yCn>yAny_{Cn} > y_{An}.
Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=3x=3 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=6x=6 in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
B 1.3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen

In Arbeit

Lösung zu B 1.1

Du bestimmst die Funktionsgleichung der Parabel p, indem du die beiden Punkte P(219)P(-2|19) und Q(45)Q(4|-5) in die vorgegebene Form y=0,5x2+bx+cy=0,5x^2+bx+c einsetzt. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem, dass du lösen kannst.

Einsetzen von P in p

Der Punkt P besteht aus x=2x=-2 und y=19y=19.
I:19=0,5(2)2+b(2)+cI: 19= 0,5\cdot (-2)^2 +b\cdot (-2) +c
Verrechne soweit möglich und bringe immer Zahl vor Buchstabe. Dadurch wird es später übersichtlicher!
I:19=0,542b+cI: 19 = 0,5 \cdot 4 -2 b +c

I:19=22b+cI: 19= 2-2b+c
Bringe die 2 auf die linke Seite, damit du so weit wie möglich zusammen gefasst hast.
I:17=2b+cI: 17 = -2b+c


Einsetzen von Q in p

Der Punkt Q besteht aus x=4x=4 und y=5y=-5.
II:5=0,542+b4+cII: -5= 0,5\cdot 4^2 +b\cdot 4 +c
Verrechne erneut soweit wie möglich und bringe Zahl vor Buchstabe.
II:5=0,516+4b+cII: -5= 0,5\cdot 16 +4b+c

II:5=8+4b+cII: -5= 8+4b +c
Bringe - genau wie oben - die 8 auf die andere Seite.
II:13=4b+cII: -13 =4b+c


Löse das Gleichungssystem

Am einfachsten ist es hier, wenn du das System mit dem Additionsverfahren löst, da c bei beiden Gleichungen mit dem gleichen Koeffizienten (nämlich 1) vorkommt.
Schreibe zunächst die beiden Gleichungen untereinander:
I:17=2b+cI:17=-2b+c II:13=4b+cII: -13 =4b+c
Damit beim Addieren von II und IIII das c wegfällt, multiplizierst du die zweite Gleichung mit 1-1. Alle Vorzeichen drehen sich um:
%%I:17=
A 2.0
Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Viereck ABCD.
Es gilt: AB=7,8 cm\overline{AB}= 7,8 \text{ cm}; AD=5,2 cm\overline{AD}=5,2 \text{ cm}; BC=8,6 cm\overline{BC}= 8,6 \text{ cm};
BAD=90\sphericalangle BAD=90^{\circ} ; CBA=70\sphericalangle CBA=70^{\circ}.
Viereck
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
A 2.1 Berechnen Sie die Länge der Diagonalen [BD][BD] und den Flächeninhalt A des Dreiecks BCD.
[Ergebnisse: BD=9,4 cm\overline{BD}=9,4\text{ cm}; A=23,9 cm2A=23,9 \text{ cm}^2]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme

Also: Unser Verfahren benötigt
n33op\displaystyle \dfrac{n^3}{3} op
für nn Unbekannte und wir haben einen Rechner, der
100000000ops\displaystyle 100\, 000\, 000 \dfrac{op}{s}
schafft. Also kann die Dauer angegeben werden als:
d(n)=n33op100000000ops=n3300000000s\displaystyle d(n) = \dfrac{\frac{n^3}{3}op}{100\,000\,000 \frac{op}{s}} = \dfrac{n^3}{300\,000\,000}s
Nun setzen wir die angegebenen nn ein:
d(10)=103300000000s=1300000s3,3μs\displaystyle d(10) = \dfrac{10^3}{300\,000\,000}s = \dfrac{1}{300\,000}s \approx 3,3 \mu\text{s}

d(1000)=10003300000000s=103s3,3s\displaystyle d(1\,000) = \dfrac{1000^3}{300\,000\,000}s = \dfrac{10}{3}s \approx 3,3 \text{s}

d(100000)=1000003300000000s3333333,3s39d\displaystyle d(100\,000) = \dfrac{100\,000^3}{300\,000\,000}s \approx 3\,333\,333,3\text{s} \approx 39\text{d}
Während also ein Gleichungssystem mit 1010 Unbekannten im Bruchteil einer Sekunde gelöst werden kann, dauert es für 100000100000 Variablen länger als einen Monat.
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