Aufgaben

A 1.0 Es werden zwei Versuche zur Abkühlung von heißem Wasser durchgeführt. Der Temperaturverlauf während dieser Versuche lässt sich jeweils näherungsweise durch eine Exponentialfunktion der Form %%y=(y_A-y_U)\cdot 0,9^x+y_U%% %%(\mathbb{G}=\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+}, y_A \in \mathbb{R}^{+}, y_U \in \mathbb{R}^{+})%% beschreiben. Dabei ist nach x Minuten die Temperatur des Wassers auf %%y {}^{\circ}C%% gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers beträgt %%y_A {}^{\circ}C%% und die Umgebungstemperatur %%y_U {}^{\circ}C%% . Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

A 1.1 Im ersten Versuch kühlt 95 %%^{\circ}C%% heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von 20 %%^{\circ}C%% ab. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf 60 %%^{\circ}C%% gesunken ist. (2 P)

A 1.2 Im zweiten Versuch kühlt 72 %%^{\circ}C%% heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von 18 %%^{\circ}C%% für 3 Minuten ab. Anschließend wird der Abkühlvorgang in einem zweiten Raum für weitere 8 Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von 39 %%^{\circ}C%% besitzt. Berechnen Sie die Umgebungstemperatur im zweiten Raum. (3 P)

Die Anzahl der Ladestationen für Elektrofahrzeuge in Deutschland soll laut einer Prognose in den nächsten Jahren exponentiell wachsen. Diese Entwicklung kann man näherungsweise durch die Funktion %%f:y=5000\cdot 1,75^x%% beschreiben, wobei x die Anzahl der Jahre und y die Anzahl der Ladestationen darstellt.

Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Tausender gerundet und zeichnen Sie sodann den Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem ein. (2 P)

%%\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&\quad 0\quad&\quad1\quad&\quad 2\quad&\quad3\quad&\quad4\;\quad\\\hline 5000\cdot 1,75^x &&&&&\\\hline \end{array}%%

Wertetabelle

Gib die Funktion in den Taschenrechner ein und lasse dir die Wertetabelle ausgeben. Das Ergebnis sollte so aussehen:

%%\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&\quad 0\quad&\quad1\quad&\quad 2\quad&\quad3\quad&\quad4\;\quad\\\hline 5000\cdot 1,75^x &5000&9000&15000&27000&47000\\\hline \end{array}%%

Graph

Übertrage die Werte in der Wertettabelle in den Graphen:

Graph der Exponentialfunktion

Ermitteln Sie mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit die ursprüngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um 600% zugenommen haben wird. (2 P)

Um zu wissen, wann es 600% mehr Ladestationen sind, musst du zuerst berechnen, wie viele Ladestationen 600% mehr sind. Du suchst also den Prozentwert.

Der Grundwert ist die Anzahl der Ladestationen am Anfang, also 5000. Der Prozentsatz sind 600% Steigerung. Nach der Prozentrechenformel gibt es :

%%5000\cdot6,00=30000%% zusätzliche Ladestationen

Also gibt es insgesamt nach dieser Steigerung %%30000+5000=35000%% Ladestationen.

Aus dem Graphen kannst du daher ablesen, dass dies ungefähr bei %%3,5%% der Fall ist.

Punkt auf Graph

Geben Sie an, welche jährliche Zunahme in Prozent in dieser Prognose angenommen wurde. (2 P)

B 1.0
Die Parabel p verläuft durch die Punkte %%P(-2|19)%% und %%Q(4|-5)%%. Sie hat eine Gleichung der Form %%y=0,5x^2+bx+c%% mit %%\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R}%% und %%b,c \in \mathbb{R}%%.

Die Gerade g besitzt die Gleichung %%y=0,5x-2%% mit %%\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R}%%.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1
Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung %%y= 0,5x^2-5x+7%% besitzt.

Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g für %%x\in [0;10]%% in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit %%1 cm; 0\leq x \leq 10; -6 \leq y \leq 8%%

B 1.2
Punkte %%A_n(x|0,5x^2-5x+7)%% auf der Parabel p und Punkte %%C_n(x|0,5x-2)%% auf der Gerade g besitzen dieselbe Abszisse x. Diese Punkte bilden zusamen mit Punkten %%B_n%% und %%D_n%% Rauten %%A_nB_nC_nD_n%%, wobei gilt: %%\overline{B_nD_n}= 2 LE%% und %%y_{Cn} > y_{An}%%.

Zeichnen Sie die Rauten %%A_1B_1C_1D_1%% für %%x=3%% und %%A_2B_2C_2D_2%% für %%x=6%% in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

B 1.3

In Arbeit

Lösung zu B 1.1

Du bestimmst die Funktionsgleichung der Parabel p, indem du die beiden Punkte %%P(-2|19)%% und %%Q(4|-5)%% in die vorgegebene Form %%y=0,5x^2+bx+c%% einsetzt. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem, dass du lösen kannst.

Einsetzen von P in p

Der Punkt P besteht aus %%x=-2%% und %%y=19%%.

%%I: 19= 0,5\cdot (-2)^2 +b\cdot (-2) +c%%

Verrechne soweit möglich und bringe immer Zahl vor Buchstabe. Dadurch wird es später übersichtlicher!

%%I: 19 = 0,5 \cdot 4 -2 b +c%%

%%I: 19= 2-2b+c%%

Bringe die 2 auf die linke Seite, damit du so weit wie möglich zusammen gefasst hast.

%%I: 17 = -2b+c%%

Einsetzen von Q in p

Der Punkt Q besteht aus %%x=4%% und %%y=-5%%.

%%II: -5= 0,5\cdot 4^2 +b\cdot 4 +c%%

Verrechne erneut soweit wie möglich und bringe Zahl vor Buchstabe.

%%II: -5= 0,5\cdot 16 +4b+c%%

%%II: -5= 8+4b +c%%

Bringe - genau wie oben - die 8 auf die andere Seite.

%%II: -13 =4b+c%%

Löse das Gleichungssystem

Am einfachsten ist es hier, wenn du das System mit dem Additionsverfahren löst, da c bei beiden Gleichungen mit dem gleichen Koeffizienten (nämlich 1) vorkommt.

Schreibe zunächst die beiden Gleichungen untereinander:

%%I:17=-2b+c%%
%%II: -13 =4b+c%%

Damit beim Addieren von %%I%% und %%II%% das c wegfällt, multiplizierst du die zweite Gleichung mit %%-1%%. Alle Vorzeichen drehen sich um:

%%I:17=

A 2.0

Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Viereck ABCD.

Es gilt: %%\overline{AB}= 7,8 \text{ cm}%%; %%\overline{AD}=5,2 \text{ cm}%%; %%\overline{BC}= 8,6 \text{ cm}%%;

%%\sphericalangle BAD=90^{\circ}%% ; %%\sphericalangle CBA=70^{\circ}%%.

Viereck

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

A 2.1 Berechnen Sie die Länge der Diagonalen %%[BD]%% und den Flächeninhalt A des Dreiecks BCD.

[Ergebnisse: %%\overline{BD}=9,4\text{ cm}%%; %%A=23,9 \text{ cm}^2%%]

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